Algebra/Algebra astratta

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[modifica] Definizioni di Base

Innanzitutto, definiamo cosa si intende per operazione: dato un insieme non vuoto A, una operazione o legge di composizione interna è una funzione da A^n ad A (in cui con A^n si intende il prodotto cartesiano di A con se stesso n volte); in questo caso, si dice che l'operazione è n-aria p di varietà n, intendendo che opera su n elementi di A restituendo l'elemento di A ad essi associato. Solitamente, si trattano operazioni binarie (cioè operazioni in cui n=2), ternarie (cioè operazioni in cui n=3), unarie (cioè operazioni in cui n=1), zerarie o nullarie (cioè operazioni in cui n=0, che equivalgono a fissare un elemento di A, per esempio nella definizione moderna di gruppo). Le operazioni sono solitamente indicate con simboli quali +,\cdot,*,\circ,\bullet,\star,\times,\oplus,\otimes,\dagger eccetera. Si usa spesso, al posto della notazione prefissa tipica delle funzioni (+(\langle a,b \rangle)) la notazione infissa (a+b) o quella postfissa o suffissa ((\langle a,b\rangle)+).

Dato un linguaggio \mathfrak{F} e un insieme A\neq\emptyset, definiamo algebra \mathbf{A} di tipo \mathfrak{F} una coppia ordinata \langle A,F\rangle, con F insieme di funzioni finitarie indicizzate (o non indicizzate) in modo tale che per ogni simbolo f di operazione n-aria in \mathfrak{F} corrisponda una operazione n-aria f_A in A; le operazioni di F si dicono fondamentali. Se F è finito, si scrive \langle A,f_1,f_2,\ldots,f_n\rangle, con la convenzione di elencare le operazioni fondamentali per arietà decrescente.


Definiamo quindi, a partire da questa, le strutture algebriche elementari, indicando l'arietà dell'operazione o delle operazioni e le proprietà da esse verificate.

[modifica] Classificazione di operazioni binarie

In particolare, consideriamo ora operazioni binarie.

  1. Un'operazione binaria (che chiamiamo per esempio *) si dice:
    • associativa se si ha l'ugualianza (a*b)*c=a*(b*c) per ogni a,b,c\in A;
    • commutativa se a*b=b*a per ogni a,b\in A;
    • mediale se (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d) per ogni a,b,c,d\in A;
    • commutativa a sinistra se a*(b*c)=a*(c*b) per ogni a,b,c\in A;
    • commutativa a destra se (a*b)*c=(b*a)*c per ogni a,b,c\in A;
    • autodistributiva a sinistra se a*(b*c)=(a*b)*(a*c) per ogni a,b,c\in A;
    • autodistributiva a destra se (a*b)*c=(a*c)*(b*c) per ogni a,b,c\in A.
  2. Inoltre, se sono date due operazioni +,\cdot, definiamo:
    • \cdot distributiva a + a sinistra se a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c per ogni a,b,c\in A;
    • \cdot distributiva a + a destra se (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c per ogni a,b,c\in A.
  3. Diciamo che un elemento a\in A rispetto all'operazione \dagger è:
    • idempotente se a\dagger a=a (dove possiamo scrivere a\dagger a più sinteticamente come a^2);
    • neutro a sinistra se a\dagger c=c, \forall c\in A;
    • neutro a destra se c\dagger a=c, \forall c\in A;
    • neutro se è neutro sia sinistro che destro, ovvero se a\dagger c=c\dagger a=c, \forall c\in A;
    • zero (assorbente) a sinistra se a\dagger c=a, \forall c\in A;
    • zero (assorbente) a destra se c\dagger a=a, \forall c\in A;
    • zero (assorbente) se è zero sia sinistro che destro, ovvero se a\dagger c=c\dagger a=c, \forall a\in A;
    • divisore dello zero a sinistra se, nell'ipotesi che esista lo zero (0) in A e che a\neq0, si ha che \exists b\in A\setminus\{0\}: a\dagger b=0;
    • divisore dello zero a destra se, nell'ipotesi che esista lo zero (0) in A e che a\neq0, si ha che \exists b\in A\setminus\{0\}: b\dagger a=0;
    • invertibile (simmetrizzabile) a sinistra se \exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=x, e in questo caso si dice che a' è un inverso sinistro o un simmetrico sinistro di a; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in A l'unità u, allora a si definisce invertibile a sinistra se \exists a'\in A:a'\dagger a=u;
    • invertibile (simmetrizzabile) a destra se \exists a'\in A:\forall x\in A, (x\dagger a)\dagger a'=x, e in questo caso si dice che a' è un inverso destro o un simmetrico destro di a; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in A l'unità u, allora a si definisce invertibile a destra se \exists a'\in A:a\dagger a'=u;
    • invertibile (simmetrizzabile) se è invertibile sia a sinistra che a destra, ovvero se \exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=(x\dagger a)\dagger a'=x, e in questo caso si dice che a' è l' inverso o il simmetrico di a; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in A l'unità u, allora a si definisce invertibile se \exists a'\in A:a'\dagger a=a'\dagger a=u.

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