Algebra/Algebra astratta

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[modifica] Definizioni di Base

Innanzitutto, definiamo cosa si intende per operazione: dato un insieme non vuoto $A$ , una operazione o legge di composizione interna è una funzione da $A n$ ad $A$ (in cui con $A n$ si intende il prodotto cartesiano di $A$ con se stesso $n$ volte); in questo caso, si dice che l'operazione è $n$ -aria p di varietà $n$ , intendendo che opera su $n$ elementi di $A$ restituendo l'elemento di $A$ ad essi associato. Solitamente, si trattano operazioni binarie (cioè operazioni in cui $n = 2$ ), ternarie (cioè operazioni in cui $n = 3$ ), unarie (cioè operazioni in cui $n = 1$ ), zerarie o nullarie (cioè operazioni in cui $n = 0$ , che equivalgono a fissare un elemento di $A$ , per esempio nella definizione moderna di gruppo). Le operazioni sono solitamente indicate con simboli quali $+,\cdot,*,\circ,\bullet,\star,\times,\oplus,\otimes,\dagger$ eccetera. Si usa spesso, al posto della notazione prefissa tipica delle funzioni ( $+(\langle a,b \rangle)$ ) la notazione infissa ( $a + b$ ) o quella postfissa o suffissa ( $(\langle a,b\rangle)+$ ).

Dato un linguaggio $\mathfrak{F}$ e un insieme $A\neq\emptyset$ , definiamo algebra $\mathbf{A}$ di tipo $\mathfrak{F}$ una coppia ordinata $\langle A,F\rangle$ , con $F$ insieme di funzioni finitarie indicizzate (o non indicizzate) in modo tale che per ogni simbolo $f$ di operazione $n$ -aria in $\mathfrak{F}$ corrisponda una operazione $n$ -aria $f A$ in $A$ ; le operazioni di $F$ si dicono fondamentali. Se $F$ è finito, si scrive $\langle A,f_1,f_2,\ldots,f_n\rangle$ , con la convenzione di elencare le operazioni fondamentali per arietà decrescente.

Definiamo quindi, a partire da questa, le strutture algebriche elementari, indicando l'arietà dell'operazione o delle operazioni e le proprietà da esse verificate.

[modifica] Classificazione di operazioni binarie

In particolare, consideriamo ora operazioni binarie.

Un'operazione binaria (che chiamiamo per esempio * ) si dice:
- associativa se si ha l'ugualianza $(a * b) * c = a * (b * c)$ per ogni $a,b,c\in A$ ;
- commutativa se $a * b = b * a$ per ogni $a,b\in A$ ;
- mediale se $(a * b) * (c * d) = (a * c) * (b * d)$ per ogni $a,b,c,d\in A$ ;
- commutativa a sinistra se $a * (b * c) = a * (c * b)$ per ogni $a,b,c\in A$ ;
- commutativa a destra se $(a * b) * c = (b * a) * c$ per ogni $a,b,c\in A$ ;
- autodistributiva a sinistra se $a * (b * c) = (a * b) * (a * c)$ per ogni $a,b,c\in A$ ;
- autodistributiva a destra se $(a * b) * c = (a * c) * (b * c)$ per ogni $a,b,c\in A$ .
Inoltre, se sono date due operazioni , definiamo:
- $\cdot$ distributiva a $+$ a sinistra se $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ per ogni $a,b,c\in A$ ;
- $\cdot$ distributiva a $+$ a destra se $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ per ogni $a,b,c\in A$ .
Diciamo che un elemento rispetto all'operazione è:
- idempotente se $a\dagger a=a$ (dove possiamo scrivere $a\dagger a$ più sinteticamente come $a 2$ );
- neutro a sinistra se $a\dagger c=c, \forall c\in A$ ;
- neutro a destra se $c\dagger a=c, \forall c\in A$ ;
- neutro se è neutro sia sinistro che destro, ovvero se $a\dagger c=c\dagger a=c, \forall c\in A$ ;
- zero (assorbente) a sinistra se $a\dagger c=a, \forall c\in A$ ;
- zero (assorbente) a destra se $c\dagger a=a, \forall c\in A$ ;
- zero (assorbente) se è zero sia sinistro che destro, ovvero se $a\dagger c=c\dagger a=c, \forall a\in A$ ;
- divisore dello zero a sinistra se, nell'ipotesi che esista lo zero ( $0$ ) in $A$ e che $a\neq0$ , si ha che $\exists b\in A\setminus\{0\}: a\dagger b=0$ ;
- divisore dello zero a destra se, nell'ipotesi che esista lo zero ( $0$ ) in $A$ e che $a\neq0$ , si ha che $\exists b\in A\setminus\{0\}: b\dagger a=0$ ;
- invertibile (simmetrizzabile) a sinistra se $\exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=x$ , e in questo caso si dice che $a'$ è un inverso sinistro o un simmetrico sinistro di $a$ ; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$ , allora $a$ si definisce invertibile a sinistra se $\exists a'\in A:a'\dagger a=u$ ;
- invertibile (simmetrizzabile) a destra se $\exists a'\in A:\forall x\in A, (x\dagger a)\dagger a'=x$ , e in questo caso si dice che $a'$ è un inverso destro o un simmetrico destro di $a$ ; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$ , allora $a$ si definisce invertibile a destra se $\exists a'\in A:a\dagger a'=u$ ;
- invertibile (simmetrizzabile) se è invertibile sia a sinistra che a destra, ovvero se $\exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=(x\dagger a)\dagger a'=x$ , e in questo caso si dice che $a'$ è l' inverso o il simmetrico di $a$ ; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$ , allora $a$ si definisce invertibile se $\exists a'\in A:a'\dagger a=a'\dagger a=u$ .