Algebra/Algebra astratta

Definizioni di Base

Innanzitutto, definiamo cosa si intende per operazione: dato un insieme non vuoto $A$, una operazione o legge di composizione interna è una funzione da $A^n$ ad $A$ (in cui con $A^n$ si intende il prodotto cartesiano di $A$ con se stesso $n$ volte); in questo caso, si dice che l'operazione è $n$-aria p di varietà $n$, intendendo che opera su $n$ elementi di $A$ restituendo l'elemento di $A$ ad essi associato. Solitamente, si trattano operazioni binarie (cioè operazioni in cui $n=2$), ternarie (cioè operazioni in cui $n=3$), unarie (cioè operazioni in cui $n=1$), zerarie o nullarie (cioè operazioni in cui $n=0$, che equivalgono a fissare un elemento di $A$, per esempio nella definizione moderna di gruppo). Le operazioni sono solitamente indicate con simboli quali $+,\cdot,*,\circ,\bullet,\star,\times,\oplus,\otimes,\dagger$ eccetera. Si usa spesso, al posto della notazione prefissa tipica delle funzioni ($+(\langle a,b \rangle)$) la notazione infissa ($a+b$) o quella postfissa o suffissa ($(\langle a,b\rangle)+$).

Dato un linguaggio $\mathfrak{F}$ e un insieme $A\neq\emptyset$, definiamo algebra $\mathbf{A}$ di tipo $\mathfrak{F}$ una coppia ordinata $\langle A,F\rangle$, con $F$ insieme di funzioni finitarie indicizzate (o non indicizzate) in modo tale che per ogni simbolo $f$ di operazione $n$-aria in $\mathfrak{F}$ corrisponda una operazione $n$-aria $f_A$ in $A$; le operazioni di $F$ si dicono fondamentali. Se $F$ è finito, si scrive $\langle A,f_1,f_2,\ldots,f_n\rangle$, con la convenzione di elencare le operazioni fondamentali per arietà decrescente.

Definiamo quindi, a partire da questa, le strutture algebriche elementari, indicando l'arietà dell'operazione o delle operazioni e le proprietà da esse verificate.

Classificazione di operazioni binarie

In particolare, consideriamo ora operazioni binarie.

1. Un'operazione binaria (che chiamiamo per esempio $*$) si dice:
   • associativa se si ha l'ugualianza $(a*b)*c=a*(b*c)$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • commutativa se $a*b=b*a$ per ogni $a,b\in A$;
   • mediale se $(a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)$ per ogni $a,b,c,d\in A$;
   • commutativa a sinistra se $a*(b*c)=a*(c*b)$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • commutativa a destra se $(a*b)*c=(b*a)*c$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • autodistributiva a sinistra se $a*(b*c)=(a*b)*(a*c)$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • autodistributiva a destra se $(a*b)*c=(a*c)*(b*c)$ per ogni $a,b,c\in A$.
2. Inoltre, se sono date due operazioni $+,\cdot$, definiamo:
   • $\cdot$ distributiva a $+$ a sinistra se $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • $\cdot$ distributiva a $+$ a destra se $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ per ogni $a,b,c\in A$.
3. Diciamo che un elemento $a\in A$ rispetto all'operazione $\dagger$ è:
   • idempotente se $a\dagger a=a$ (dove possiamo scrivere $a\dagger a$ più sinteticamente come $a^2$);
   • neutro a sinistra se $a\dagger c=c, \forall c\in A$;
   • neutro a destra se $c\dagger a=c, \forall c\in A$;
   • neutro se è neutro sia sinistro che destro, ovvero se $a\dagger c=c\dagger a=c, \forall c\in A$;
   • zero (assorbente) a sinistra se $a\dagger c=a, \forall c\in A$;
   • zero (assorbente) a destra se $c\dagger a=a, \forall c\in A$;
   • zero (assorbente) se è zero sia sinistro che destro, ovvero se $a\dagger c=c\dagger a=c, \forall a\in A$;
   • divisore dello zero a sinistra se, nell'ipotesi che esista lo zero ($0$) in $A$ e che $a\neq0$, si ha che $\exists b\in A\setminus\{0\}: a\dagger b=0$;
   • divisore dello zero a destra se, nell'ipotesi che esista lo zero ($0$) in $A$ e che $a\neq0$, si ha che $\exists b\in A\setminus\{0\}: b\dagger a=0$;
   • invertibile (simmetrizzabile) a sinistra se $\exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=x$, e in questo caso si dice che $a'$ è un inverso sinistro o un simmetrico sinistro di $a$; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$, allora $a$ si definisce invertibile a sinistra se $\exists a'\in A:a'\dagger a=u$;
   • invertibile (simmetrizzabile) a destra se $\exists a'\in A:\forall x\in A, (x\dagger a)\dagger a'=x$, e in questo caso si dice che $a'$ è un inverso destro o un simmetrico destro di $a$; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$, allora $a$ si definisce invertibile a destra se $\exists a'\in A:a\dagger a'=u$;
   • invertibile (simmetrizzabile) se è invertibile sia a sinistra che a destra, ovvero se $\exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=(x\dagger a)\dagger a'=x$, e in questo caso si dice che $a'$ è l' inverso o il simmetrico di $a$; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$, allora $a$ si definisce invertibile se $\exists a'\in A:a'\dagger a=a'\dagger a=u$.