Ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa/Matematica1/1991

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Indice 1 Problema 3 1.1 Quesito 1.2 Soluzione 1.2.1 Prima parte 1.3 Seconda parte

[modifica] Problema 3

[modifica] Quesito

Trovare il più piccolo numero intero k con la proprietà che k + 1 e 2k + 1 siano entrambi quadrati perfetti.
Mostrare poi che ogni intero n con questa proprietà è un multiplo di k

[modifica] Soluzione

[modifica] Prima parte

Deve aversi:

(1) k + 1 = x²

(2) 2k + 1 = y²

con x e y interi.

Eliminando k dalle 2 equazioni, si ottiene, facilmente:

(3) 2x² − y² = 1

La (2) ci dice che y deve essere dispari; ricavando, allora, x² dalla (3) e ponendo y=2m+1, si ricava:

(4) , da cui si desume che anche x deve essere dispari.

Procedendo per tentativi a partire dal valore m = 1, il secondo membro della (4) risulta un quadrato perfetto per m = 3. Si ottiene, allora, per tale valore di m:

x = 5, y = 7

mentre, dalla (1), si ricava:

k = 24

[modifica] Seconda parte

Deve aversi:

(5) N + 1 = x²

(6) 2N + 1 = y²

con x e y interi.

Basta provare che N è divisibile per 8 e per 3.

Posto x=2m+1, la (5) fornisce:

N = (2m + 1)² − 1 = 4m(m + 1)

la quale prova la divisibilità di N per 8, essendo pari uno dei due numeri consecutivi m e m+1.

Dalla (3) si può desumere che x non può essere divisibile per 3; infatti, supposto che ciò avvenga, la (3) non può essere verificata da alcun valore di y; invero, sono possibili 3 casi:

a) è y = 3h

si vede che, in tal caso, il primo membro della (3) è multiplo di 3 ed il secondo membro è 1;

b) è y = 3h + 1

in questo caso si ha:

2x² − 9h² − 6h = 2

uguaglianza nella quale il primo membro è multiplo di 3 ed il secondo vale 2;

c) è y = 3h + 2

in questo caso si ha:

2x² − 9h² − 12h = 5

uguaglianza nella quale il primo membro è multiplo di 3 ed il secondo vale 5; quindi x non può essere multiplo di 3.

Dalla (5) si ricava:

(7) N = (x + 1)(x − 1)

Essendo il dispari x non divisibile per 3, uno dei due pari consecutivi x-1 e x+1 deve essere divisibile per 3 e ciò prova la divisibilità di N per 3.

In definitiva, N deve essere divisibile per 8 e per 3, quindi deve essere un multiplo di k=24.