Ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa/Matematica1/2003

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Indice

[modifica] Problema 1

[modifica] Quesito

Sono dati due punti distinti A e B nello spazio. Si richiede di trovare il luogo geometrico costituito dall'insieme di punti delle proiezioni di A su tutti i piani passanti per B.

[modifica] Soluzione

Si tratta di una sfera che ha per diametro AB.

[modifica] Problema 2

[modifica] Quesito

Sono date le rette r ed s. Due punti si muovono rispettivamente su r e su s di velocità rettilinea uniforme. Determinare un punto del piano cui appartengono r ed s che è sempre alla stessa distanza dai due punti.

[modifica] Soluzione

Siano r ed s le due rette incidenti in O. Se all'istante 0 i due punti si trovano entrambi in O, la soluzione è banale, in quanto il punto cercato è proprio O. Nel caso generale, la costruzione del punto richiesto si può effettuare nel modo seguente:

  1. all'istante 0, i due punti si trovino, rispettivamente, in P0 su r ed in Q0 su s; sia, allora, a l'asse di P0Q0;
  2. all'istante t1, i due punti si troveranno, rispettivamente, in P1 su r ed in Q1 su s, con P0P1=Q0Q1 (uguale velocità costante); sia, allora, b l'asse di P1Q1;
  3. Il punto C, intersezione degli assi a e b prima considerati, ha la proprietà richiesta.

Infatti, osserviamo, innanzitutto, che i triangoli CQ0Q1 e CP0P1 sono congruenti per il terzo criterio, essendo, come detto, P0P1=Q0Q1 (velocità uguale e costante per i due punti), CP0=CQ0, in quanto C appartiene all'asse a e CP1=CQ1, in quanto C appartiene all'asse b. Ne consegue che gli angoli (C P0 r) e (C Q0 s) sono congruenti.

Se ora si considerano le posizioni P e Q dei due punti al generico istante t, si avrà senz'altro CP=CQ, in quanto i triangoli CP0P e CQ0Q saranno congruenti per il primo criterio, essendo CP0=CQ0 (perché C è su a), P0P=Q0Q (velocità uguale e costante), l'angolo (C P0 P)=(C Q0 Q) (come si è già dimostrato).

[modifica] Problema 3

[modifica] Quesito

Siano x e y due interi positivi tali che la loro somma è 30030. Il prodotto x y è divisibile per 30030? e se si sostituisce a 30030 il numero 11550 si può dire la stessa cosa? Trova una regola che permetta di determinare se un numero n è esprimibile come somma di due interi positivi tali che il loro prodotto sia divisibile per n.

[modifica] Soluzione

30030 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

Per cui è il minimo comune multiplo di 2, 3, 5, 7, 11 e 13.

Se 30030 | xy e x + y = 30030 allora

30030 | 30030 x - x^2 \implies 30030 | x^2.

Ma ciò è una contraddizione in quanto x < 30030 e x nella sua fattorizzazione in primi non può contenere tutti i primi.

Più in generale, se a | xy e x + y = a allora a | a x - x^2 \implies a | x^2.

Se nella fattorizzazione del numero a tutti i fattori presentano esponente unitario, si ricade nel caso dell'esempio precedente, perché x, nella sua fattorizzazione in primi, non può contenere tutti i primi di a, essendo per ipotesi x<a.

Diverso è il caso in cui il numero a presenta almeno un fattore con esponente maggiore di 1; infatti, in tal caso, può aversi x < a e a | x2 (ad esempio, 6 < 18 e 18 divisore di 36). In conclusione: I numeri a per i quali il prodotto di due interi positivi con somma a può essere divisibile per a sono quelli che nella loro fattorizzazione in primi presentano almeno un esponente maggiore di 1.

Nel caso, ad esempio, di 11550 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11, basta porre

x = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11=2310 e y = 9240.

[modifica] Problema 5

[modifica] Quesito

Il polinomio x3 + px2 + qx + r ha tre radici reali. Dimostrare la seguente doppia disuguaglianza:

\sqrt{p^2-3q} \le k \le \frac{2}{\sqrt {3}} \sqrt{p^2-3q}

dove k è la massima differenza fra le radici.

[modifica] Soluzione

[modifica] Prima parte

Denoto con a \ge b \ge c le tre radici dell'equazione, allora:

(1) p^2-3q \le (a-c)^2

Sostituisco (2) p = − (a + b + c) e q = ab + bc + ca

(3) a^2+b^2+c^2+2 a b + 2 a c + 2 b c - 3 a b - 3 b c - 3 a c \le a^2 - 2 a c + c^2
(4) b^2 + a c \le b (a+c)

Sostituisco b = x e

(5) y = x2 − x(a + c) + ac

è una parabola con valori negativi per a > x > c

[modifica] Seconda parte

Per quanto attiene alla maggiorazione di k, si può osservare che, fissati p e q, le radici estreme a e c variano al variare della radice intermedia b; in particolare, dalle uguaglianze (2), si ricava:

(6) a + c = − p − b

e

ac = q − ab − bc = q − b(a + c) = q − b( − p − b) = q + pb + b2.

Conoscendosi (in funzione di b) somma e prodotto delle radici estreme a e c, si può costruire un'equazione di secondo grado che le ammetta come radici:

(7) x2 + (p + b)x + q + pb + b2 = 0.

Il discriminante di tale equazione di secondo grado rappresenta (come è facile verificare) proprio il quadrato della differenza tra le radici a e c:

k2 = − 3b2 − 2pb + p2 − 4q

Sostituisco b:=x:

(8) k2 = − 3x2 − 2px + p2 − 4q

Tale funzione (in x) rappresenta una parabola con la concavità verso il basso che raggiunge il suo valore massimo per :x = − p / 3, donde, sostituendo al posto di x, si ottiene:

k2(max) = 4(p2 − 3q) / 3, da cui, estraendo la radice quadrata, si ottiene la tesi.

Osservazione: la (8) ci dice anche che il valore minimo di k si raggiunge quando x=c oppure x=a (supposto a>c, perché nel caso a=b=c la tesi è banalmente verificata), casi nei quali l'equazione di partenza ammette una soluzione doppia. Si può allora facilmente verificare (ricavando ad esempio a e c dalle (2) con b = c) che, in tal caso, si ha k2(min) = (a − c)2 = p2 − 3q, cioè si ritrova la tesi della minorazione già dimostrata per altra via nella prima parte.

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