Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Sommario
Categoria · Sviluppo · modifica il template

Copertina Analisi complessa/Copertina
Definizione
Una funzione di variabile complessa è una funzione
f:S \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}
dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.
Osservazioni
Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra \mathbb{C} ed \mathbb{R}^{2}, perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in \mathbb{R}^{2} .
Sia Φ una funzione biunivoca che mappa \mathbb{C} in \mathbb{R}^{2}, ad esempio
\Phi:z =x+i y \mapsto \mathbf{w}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}
Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
f:S\subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}
come somma di due funzioni \Phi(S)\subseteq\R^{2}\rightarrow \R
f(z=x+iy)=u(x,y)+i v(x,y) \,

Indice

[modifica] Limiti

I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di \mathbb{C}; scriviamo

\lim_{z \to z_0}f(z)=w \iff \forall\varepsilon>0\quad\exists \delta>0 : |z-z_0| <\delta\Rightarrow|f(z)-w|<\varepsilon

I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di \infty come

|z|>\frac{1}{\varepsilon},\varepsilon>0
\lim_{z\to\infty}f(z)=w\iff\forall\varepsilon>0 \quad\exists \delta>0:|z|>\frac{1}{\delta} \Rightarrow\ |f(z)-w|<\varepsilon
\lim_{z \to z_0}f(z)=\infty \iff\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:|z-z_0|<\delta\Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\varepsilon}

[modifica] Teoremi sui limiti

Teorema 1.2.2
Considerando
f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \,
z_0=x_0+i y_0\!
w_0=u_0+i y_0\!
si ha che:
\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0\iff\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0\qquad e \qquad \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0
Teorema 1.2.3
Se
\lim_{z\to z_0}f(z)= f_0 e \lim_{z\to z_0}g(z)=g_0
allora
  1. \lim_{z\to z_0}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0
  2. \lim_{z\to z_0}[f(z)g(z)]=f_0g_0
  3. \lim_{z\to z_0}[f(z)/g(z)]=f_0/g_0
per g_0\neq0

[modifica] Continuità

Definizione
Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.
Una funzione f(z) è continua in z0 se
\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)
sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.

Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.

[modifica] Teoremi sulla continuità

Teorema 1.2.5
Una funzione f(z) è continua se e solo se le sue componenti u e v sono continue.
Teorema 1.2.6
La funzione composta da due funzioni continue è continua.
Teorema 1.2.7
Una funzione continua su un insieme A chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di A.

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Funzioni_di_variabile_complessa"
Strumenti personali