Analisi matematica/Derivata

Derivata e differenziale della funzione y=f(x)

1) Una funzione $y=f(x)$ si dice derivabile nel punto $\ P=[c,f(c)]$ se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:

$\lim _{h\to 0}{f(c+h)-f(c) \over h}$

il quale limite si dice derivata di $\ f(x)$ per $\ x=c.$

Se il limite suddetto esiste per ogni valore $\ x$ di un intervallo $\ (a,b)$ si pone:

$\ f'(x)=Df(x)={dy \over dx}=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=\phi (x),$

funzione che rappresenta la derivata di $\ f(x)$ in tutto$\ (a,b).$

'esempio'

Se $\ y=\ sen\ x,$

${f(x+h)-f(x) \over h}={\ sen(x+h)-\ sen(x) \over h}={2\ sen{h \over 2}\ cos(x+{h \over 2}) \over h},$ e

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=\lim _{h\to 0}[{\ sen{h \over 2} \over {h \over 2}}\ cos(x+{h \over 2})]=\ cos\ x$

onde $:\qquad D\ sen\ x=\ cos\ x.$

2) Una funzione $\ y=f(x)$ si dice differenziabile nel punto $\ P=[c,f(c)]$ se il suo incremento $\ \Delta y$ calcolato nel punto $\ P$ si può esprimere nel seguente modo:

$\ \Delta y=Ah+\varepsilon h,$

essendo $\ A$ una quantità finita ed $\ \varepsilon$ una quantità che tende a zero con $\ h.$

Se la precedente relazione vale in tutto $\ (a,b)$ la $\ f(x)$ si dice differenziabile in $\ (a,b).$ Il primo termine del 2° menmbro si dice diferenziale della funzione e si scrive: $\ dy=Ah=f'(x)h=f'(x)dx$ da cui la relazione: ${dy \over dx}=f'(x)$.

Regole di derivazione

1. derivata di una somma o differenza

   ${\frac {d(u\pm v)}{dx}}={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}$

2. derivata di un prodotto

   ${\frac {d(uv)}{dx}}=v\ {\frac {du}{dx}}+u\ {\frac {dv}{dx}}$

3. derivata di un quoziente

   ${\frac {d({\frac {u}{v}})}{dx}}={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

4. derivata di funzione di funzione

   ${\displaystyle }$

5. derivata della funzione inversa di y=f(x)

   ${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}},\qquad se{\frac {dy}{dx}}\neq 0<,$ cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.

6. derivata di cf(x)

   ${\frac {d[cf(x)]}{dx}}=c\ {\frac {df}{dx}}$

7. derivazione per serie

   Se una serie $\sum _{}^{}u_{n}(x)$ di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate $u'_{n}(x)$ sono continue e la serie $\sum _{}^{}u'_{n}(x)$ è uniformemente convergente in (a,b), si ha:

   ${ds(x) \over dx}=\sum _{i}^{}u'_{n_{i}}(x),$

   essendo $\ s(x)$ la somma della serie data.

Derivate fondamentali

1. ${\frac {dc}{dx}}=0$
2. ${\frac {dx}{dx}}=1$
3. ${\frac {dx^{m}}{dx}}=mx^{m-1}$
4. ${\frac {d[f(x)]^{m}}{dx}}=m[f(x)]^{m-1}{\frac {df}{dx}}$
5. ${\frac {d{\sqrt[{n}]{x}}^{m}}{dx}}={\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x}}^{(m-n)};\qquad {\frac {d}{}}$

Derivate e differenziali di ordine n

1. ${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}={\frac {d}{dx}}[{\frac {d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}}}];\qquad d^{n}f={d^{n}f \over dx^{n}}(dx)^{n}.$
2. ${d^{n}(u\pm v) \over dx^{n}}={d^{n}u \over dx^{n}}\pm {d^{n}v \over dx^{n}}$

Derivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)

1. derivate parziali prime

   ${\frac {\delta f}{\delta x}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=f'_{x}$

   ${\frac {\delta f}{\delta y}}=\lim _{k\rightarrow 0}\ {\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}=f'_{y}$

2. derivate parziali seconde

   ${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}={\partial \over \partial x}({\partial f \over \partial x});\qquad {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}={\partial \over \partial y}({\partial f \over \partial y})$

   ${\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial \over \partial y}({\partial f \over \partial x});\qquad {\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}={\partial \over \partial x}({\partial f \over \partial y});$

   ${\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x},$

   cioè le derivate seconde miste sono uguali.

3. derivate di una funzione $z=f(x,y)$ composta mediante le funzioni: $\ x=\phi (t),\ y=\psi (t)$

   ${\partial f \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt},$

4. derivata secondo la direzione di coseni direttori $\ \alpha$ e $\ \beta$ nel piano, e $\ \alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ nello spazio:

   $\lim _{\Delta r\to 0}{\Delta f \over \Delta r}={df \over dr}={\partial f \over \partial x}\alpha +{\partial f \over \partial y}\beta ;\qquad \lim _{\Delta r\to 0}{\Delta f \over \Delta r}={\partial f \over \partial r}={\partial f \over \partial x}\alpha +{\partial f \over \partial y}\beta +{\partial f \over \partial z}\gamma ,$

   essendo $\ \Delta r$ la distanza di due punti posti sopra una retta parallela alla distanza data.

5. differenziali totali di $\ z=f(x,y):$

   $\ df={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial x}dy;\qquad d^{n}f=({\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy)^{(n)},$

   dove $\ (n)$ è un esponente simbolico e cioè va inteso come ordine di derivazione per le derivate e come esponente per $\ dx$ e$\ dy.$

6. Un'espressione: $\ A(x,y)dx+B(x,y)dy$ si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una $\ f(x,y)$, cioè se:

   $\ A(x,y)dx+B(x,y)dy={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy$

   per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione: ${\partial A \over \partial y}={\partial B \over \partial x}.$

Formule e regole fondamentali del calcolo differenziale

1. formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):

   $\ f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)$

   con $\ (\ 0<\theta \ <1)$

2. formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):

   $\ f(x+h,y+k)-f(x,y)=hf'_{x}(x+\theta h,y+\theta k)+kf'_{y}(x+\theta h,y+\theta k)$

   con $\ (0<\theta \ <1)$

3. formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0

   ${\frac {f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}}={\frac {f'(x+\theta h)}{g'(x+\theta h)}}$

   con $\ (0<\theta \ <1$

4. formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:
   1. $\ f(x+h)=f(x)+{\frac {h}{1}}f'(x)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x)+...+{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x+\theta h)$
   2. $\ f(x)=f(0)+{\frac {x}{1!}}f'(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f''(0)+...+{\frac {x^{n}}{n!}}f^{(n)}(\theta x)$

      L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con $\ R_{n}$ e può assumere le seguenti forme:

      • $\ R_{n}={\frac {n^{n}}{n!}}f^{(n)}(x+\theta h)\qquad (forma\ di\ Lagrange)$
      • $\ R_{n}={\frac {h^{n}(1-\theta )^{(n-p)}f^{(n)}(x+\theta h)}{p(n-1)!}}\qquad (forma\ di\ Schlomisch)$
      • $\ R_{n}={\frac {h^{n}(1-\theta )^{n-1}f^{(n)}(x+\theta h)}{(n-1)!}}\qquad (forma\ di\ Cauchy)$

5. formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:
6. regola di Hopital per le forme indeterminate:
   1. Se il rapporto ${\frac {f(x)}{\phi (x)}}$ per x=c si presenta nelle forme:

      ${\frac {0}{0}},\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad allora:\quad \lim _{x\to \ c}{\frac {f(x)}{\phi (x)}}=\lim _{x\to \ c}{\frac {f'(x)}{\phi '(x)}}$

      e se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:

      $\lim _{x\to \ c}{\frac {f(x)}{\phi (x)}}=\lim _{x\to \ c}{\frac {f^{(n)}(x)}{\phi ^{(n)}(x)}}$

   essendo n il $Inserisciquiunaformula$primo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.

   • Le forme indeterminate del tipo $0\cdot \infty ,\infty -\infty ,$ si riconducono al caso a) mediante le trasformazioni:

     $f(x)\cdot \phi (x)={\frac {f(x)}{\frac {1}{\phi (x)}}}\qquad f(x)-\phi (x)=[{\frac {1}{\phi (x)}}-{\frac {1}{f(x)}}]:{\frac {1}{f(x)\phi (x)}}$

   • Le forme indeterminate del tipo $\ 1^{\infty },\infty ^{0},0^{0}$ si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se

     $\lim _{x\to \ c}\log f(x)^{\phi (x)}=\lim _{x\to c}\phi (x)\log f(x)=l\qquad allora\quad \lim _{x\to \ c}f(x)^{\phi (x)}=e^{l}$

7. formule di eulero sulle funzioni omogenee:

   Se una funzione $z=f(x,y)$ è omogenea, cioè tale che:

   $\ f(kx,ky)=k^{\alpha }f(x,y),$

   essendo $\ \alpha$ il grado di omogeneità, valgono per essa le relazioni:

   a) $x{\partial f \over \partial x}+y{\partial f \over \partial y}=\alpha f;$

   b) $(x{\partial f \over \partial x}+y{\partial f \over \partial y})^{(2)}=\alpha (\alpha -1)f$

   ....................

   c) $(x{\partial f \over \partial x}+y{\partial f \over \partial y})^{(r)}=\alpha (\alpha -1)...(\alpha -r+1)f.$

8. sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0

   a) Fra due radici di $\ f(x)=0$ esiste almeno una radice di $\ f'(x)=0;$

   b) condizione necessaria e sufficiente perché $\ \alpha$ sia radice multipla di ordine $\ r$ di $\ f(x)=0$ è che si abbia: $\ f(\alpha )=f'(\alpha )=...=f^{(r-1)}(\alpha )=0,$ o $f^{(r)}\neq 0.$