Analisi matematica/Derivata

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Indice

1 derivata e differenziale della funzione y=f(x)

[modifica] derivata e differenziale della funzione y=f(x)

1) Una funzione $y = f (x)$ si dice derivabile nel punto $\ P=[c,f(c)]$ se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:

$\lim_{h\to 0}{f(c+h)-f(c)\over h}$

il quale limite si dice derivata di $\ f(x)$ per $\ x=c.$

Se il limite suddetto esiste per ogni valore $\ x$ di un intervallo $\ (a,b)$ si pone:

$\ f'(x)=Df(x)={dy\over dx}=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=\phi(x),$

funzione che rappresenta la derivata di $\ f(x)$ in tutto $\ (a,b).$

'esempio'

Se $\ y=\ sen\ x,$

${f(x+h)-f(x)\over h}={\ sen(x+h)-\ sen(x)\over h}={2\ sen{h\over 2}\ cos(x+{h\over 2})\over h},$ e

$\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=\lim_{h\to 0}[{\ sen{h\over 2}\over {h\over 2}}\ cos(x+{h\over 2}) ]=\ cos\ x$

onde $:\qquad D\ sen\ x=\ cos\ x.$

2) Una funzione $\ y=f(x)$ si dice differenziabile nel punto $\ P=[c, f(c)]$ se il suo incremento $\ \Delta y$ calcolato nel punto $\ P$ si può esprimere nel seguente modo:

$\ \Delta y= Ah+\varepsilon h,$

essendo $\ A$ una quantità finita ed $\ \varepsilon$ una quantità che tende a zero con $\ h.$

Se la precedente relazione vale in tutto $\ (a,b)$ la $\ f(x)$ si dice differenziabile in $\ (a,b).$ Il primo termine del 2° menmbro si dice diferenziale della funzione e si scrive: $\ dy=Ah=f'(x)h=f'(x)dx$ da cui la relazione: ${dy\over dx}=f'(x)$ .

[modifica] regole di derivazione

derivata di una somma o differenza

$\frac{d(u\pm v)}{dx}=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}$
derivata di un prodotto

$\frac{d(u v)}{dx}=v\ \frac{du}{dx}+u\ \frac{dv}{dx}$
derivata di un quoziente

$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$
derivata di funzione di funzione
derivata della funzione inversa di y=f(x)

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}},\qquad se \frac{dy}{dx}\ne 0<,$ cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.
derivata di cf(x)

$\frac{d[cf(x)]}{dx}=c\ \frac{df}{dx}$
derivazione per serie

Se una serie $\sum_{}^{} u_{n}(x)$ di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate $u' n (x)$ sono continue e la serie $\sum_{}^{}u'_{n}(x)$ è uniformemente convergente in (a,b), si ha:

${ds(x)\over dx}=\sum_{i}^{}u'_{n_{i}}(x),$

essendo $\ s(x)$ la somma dlla serie data.

[modifica] derivate fondamentali

$\frac{dc}{dx}=0$
$\frac{dx}{dx}=1$
$\frac{dx^m}{dx}=m x^{m-1}$
$\frac{d[f(x)]^m}{dx}=m[f(x)]^{m-1}\frac{df}{dx}$
$\frac{d\sqrt[n]x^m}{dx}=\frac{m}{n}\sqrt[n]x^{(m-n)};\qquad \frac{d}{}$

[modifica] derivate e differenziali di ordine n

$\frac{d^n f(x)}{dx^n}=\frac{d}{dx}[\frac{d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}}];\qquad d^n f={d^n f\over dx^n}(dx)^n.$
${d^n(u\pm v)\over dx^n}={d^n u\over dx^n}\pm {d^n v\over dx^n}$

[modifica] derivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)

derivate parziali prime

$\frac{\delta f}{\delta x}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=f'_{x}$

$\frac{\delta f}{\delta y}=\lim_{k\rightarrow 0}\ \frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=f'_{y}$
derivate parziali seconde

${\partial^2 f\over\partial x^2}={\partial\over\partial x}({\partial f\over\partial x});\qquad {\partial^2 f\over\partial y^2}={\partial\over\partial y}({\partial f\over\partial y})$

${\partial^2 f\over\partial x\partial y}={\partial\over\partial y}({\partial f\over\partial x});\qquad{\partial^2 f\over\partial y\partial x}={\partial\over\partial x}({\partial f\over\partial y});$

${\partial^2 f\over\partial x\partial y}={\partial^2 f\over\partial y\partial x},$

cioè le derivate seconde miste sono uguali.
derivate di una funzione $z = f (x, y)$ composta mediante le funzioni: $\ x=\phi(t),\ y=\psi(t)$

${\partial f\over\partial t}={\partial f\over\partial x}{dx\over dt}+{\partial f\over\partial y}{dy\over dt},$
derivata secondo la direzione di coseni direttori $\ \alpha$ e $\ \beta$ nel piano, e $\ \alpha,\ \beta,\ \gamma$ nello spazio:

$\lim_{\Delta r\to 0}{\Delta f\over \Delta r}={df\over dr}={\partial f\over\partial x}\alpha+{\partial f\over\partial y}\beta;\qquad \lim_{\Delta r\to 0}{\Delta f\over\Delta r}={\partial f\over\partial r}={\partial f\over\partial x}\alpha+{\partial f\over\partial y}\beta+{\partial f\over\partial z}\gamma,$

essendo $\ \Delta r$ la distanza di due punti posti sopra una retta parallela alla distanza data.
differenziali totali di $\ z=f(x,y):$

$\ df={\partial f\over\partial x}dx+{\partial f\over\partial x}dy;\qquad d^n f=({\partial f\over\partial x}dx+{\partial f\over\partial y}dy)^{(n)},$

dove $\ (n)$ è un esponente simbolico e cioè va inteso come ordine di derivazione per le derivate e come esponente per $\ dx$ e $\ dy.$
Un'espressione: $\ A(x,y)dx+B(x,y)dy$ si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una $\ f(x,y)$ , cioè se:

$\ A(x,y)dx+B(x,y)dy={\partial f\over\partial x}dx+{\partial f\over\partial y}dy$

per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione: ${\partial A \over\partial y}={\partial B\over\partial x}.$

[modifica] formule e regole fondamentali del calcolo differenziale

formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):

$\ f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)$

con $\ (\ 0<\theta\ <1)$
formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):

$\ f(x+h, y+k)-f(x,y)=hf'_{x}(x+\theta h,y+\theta k)+kf'_{y}(x+\theta h,y+\theta k)$

con $\ ( 0<\theta\ <1)$
formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0

$\frac{f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}=\frac{f'(x+\theta h)}{g'(x+\theta h)}$

con $\ ( 0<\theta\ <1$
formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:
1. $\ f(x+h)=f(x)+\frac{h}{1}f'(x)+\frac{h^2}{2!}f''(x)+...+\frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x+\theta h)$
2. L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con e può assumere le seguenti forme:
  - $\ R_{n}=\frac{n^n}{n!}f^{(n)}(x+\theta h)\qquad (forma\ di\ Lagrange)$
  - $\ R_{n}=\frac{h^n(1-\theta)^{(n-p)}f^{(n)}(x+\theta h)}{p(n-1)!}\qquad (forma\ di\ Schlomisch)$
  - $\ R_{n}=\frac{h^n(1-\theta)^{n-1}f^{(n)}(x+\theta h)}{(n-1)!}\qquad (forma\ di\ Cauchy)$
formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:
regola di Hopital per le forme indeterminate:
1. Se il rapporto $\frac{f(x)}{\phi(x)}$ per x=c si presenta nelle forme:
  
  $\frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad allora:\quad \lim_{x\to\ c}\frac{f(x)}{\phi(x)}=\lim_{x\to\ c}\frac{f'(x)}{\phi'(x)}$
  
  e se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:
  
  $\lim_{x\to\ c}\frac{f(x)}{\phi(x)}=\lim_{x\to\ c}\frac{f^{(n)}(x)}{\phi^{(n)}(x)}$
essendo n il Inserisciquiunaformulaprimo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.
- Le forme indeterminate del tipo $0\cdot \infty, \infty-\infty,$ si riconducono al caso a) mediante le trasfomazioni:
  
  $f(x)\cdot \phi (x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{\phi(x)}}\qquad f(x)-\phi(x)=[\frac{1}{\phi(x)}-\frac{1}{f(x)}]:\frac{1}{f(x)\phi (x)}$
- Le forme indeterminate del tipo $\ 1^\infty, \infty^0, 0^0$ si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se
  
  $\lim_{x\to\ c}\log f(x)^{\phi(x)}=\lim_{x\to c}\phi (x)\log f(x)=l \qquad allora \quad \lim_{x\to\ c} f(x)^{\phi(x)}=e^l$
formule di eulero sulle funzioni omogenee:

Se una funzione $z = f (x, y)$ è omogenea, cioè tale che:

$\ f(kx,ky)=k^\alpha f(x,y),$

essendo $\ \alpha$ il grado di omogeneità, valgono per essa le relazioni:

a) $x{\partial f\over\partial x}+y{\partial f\over\partial y}=\alpha f;$

b) $(x{\partial f\over\partial x}+y{\partial f\over\partial y})^{(2)}=\alpha(\alpha-1)f$

....................

c) $(x{\partial f\over\partial x}+y{\partial f\over\partial y})^{(r)}=\alpha(\alpha-1)...(\alpha-r+1)f.$
sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0

a) Fra due radici di $\ f(x)=0$ esiste almeno una radice di $\ f'(x)=0;$

b) condizione necessaria e sufficiente perché $\ \alpha$ sia radice multipla di ordine $\ r$ di $\ f(x)=0$ è che si abbia: $\ f(\alpha)=f'(\alpha)=...=f^{(r-1)}(\alpha)=0,$ o $f^{(r)}\ne 0.$