Analisi matematica/Determinanti e matrici

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Indice

[modifica] Matrici

Matrici: Definizione
Si definisce matrice una tabella di n\times m numeri reali (o complessi), disposti su n righe e m colonne, dove con il termine:
  • riga intendiamo le righe orizzontali
  • colonna intendiamo invece le righe verticali

Una matrice si presenterà nella forma più generica come:

A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,m} \end{bmatrix}

nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici si usano le lettere maiuscole latine.

  • I numeri che riempiono una matrice vengono detti elementi ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con ai,j, dove la coppia di indici i,j indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'elemtento nella matrice.
  • La dimensione di una matrice che ha n righe e m colonne è n\times m
Matrici: Definizione
Esempio
Sia A la seguente matrice:
A=\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}
In questo caso la dimensione di A è 2\times 2 in quanto vi sono 2 righe e 2 colonne, inoltre:
L'elemento a1,1 = 1 perché 1 si trova all'incrocio della prima riga e la prima colonna
L'elemento a1,2 = 2 perché 2 si trova all'incrocio della prima riga e la seconda colonna
L'elemento a2,1 = 3 perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la prima colonna
L'elemento a2,2 = 3 perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna

[modifica] determinante di 2° ordine

\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b

[modifica] determinante di 3° ordine

\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{vmatrix}=a(b'c''-c'b'')-b(a'c''-c'a'')+c(a'b''-b'a'')

[modifica] determinante di 4° ordine

(regola di sviluppo di Laplace):

\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c''&d''\\c'''&d'''\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a&b\\a''&b''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c'&d'\\c'''&d'''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c'&d'\\c''&d''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\a''&b''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c'''&d'''\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}a'&b'\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c''&d''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a''&b''\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c'&d'\end{vmatrix}.

[modifica] determinante di ordine n

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}...&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}...&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+.....+a_{rn}A_{rn},

dove \ A_{rs} è il determinante di ordine \ n-1, ottenuto dal dato colla soppressione della orizzontale \ r^{ma} e della verticale \ s^{ma}, preso col segno \ (-1)^{r+s}; il determinante \ A_{rs} si dice complemento algebvrico o aggiunto di \ a_{rs}.

Se \ s\ne r si ha:

\ a_{s1}A_{r1}+a_{s2}A_{r2}+....+a_{sn}A_{rn}0=,

(sviluppo di un determinante con due line uguali il cui valore è 0).

[modifica] determinante di Vandermonde

\begin{vmatrix}1&1....&1\\a_1&a_2....&a_n\\a_1^2&a_2^2....&a_n^2\\..&..&..&\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}....&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{(r>s)}(a_r-a_s)\qquad con\ \begin{cases} r=2,3,..n\\s=1,2,..n-1\end{cases}

Questo determinante è diverso da \ 0 se i numeri \ a_1, a_2, ..a_n sono differenti.

[modifica] determinante reciproco

\ \nabla=\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}.....&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}.....&A_{2n}\\..&..&..\\A_{n1}&A_{n2}.....&A_{nn}\end{vmatrix}= D^{n-1}

essendo \ D il determinante dato.

[modifica] Prodotto di due determinanti di ordine n

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}....&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}....&a_{nn}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}....&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}....&b_{2n}\\..&..&..\\b_{n1}&b_{n2}....&b_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}....&c_{1n}\\c_{21}&c{22}....&c_{2n}\\..&..&..\\c_{n1}&c_{n2}....&c_{nn}\end{vmatrix}

dove: \ c_{rs}=a_{r1}b_{s1}+a_{r2}b_{s2}+....+a_{rn}b_{sn},

cioè: \ c_{rs} risulta dalla moltiplicazione della \ r^{ma} orizzontale del \ 1^0 per la \ s^{ma} del \ 2^{0}

Il prodotto però può pure eseguirsi per verticali fra loro oppure anche con orizzontali per verticali o viceversa.

[modifica] rango di una matrice

Data la matrice:

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\......&....&.....&........\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}

si dice rango l'ordine massimo dei determinanti diversi da zero contenuti nella matrice. Date m forme lineari: ar1x1+ar2x2+...+arnxn=Ur con r=1,2...m, la carsatteristica della matrice dei coefficienti dà il numero di tali forme linearmente indipendenti.

esempio: Il rango della seguente matrice quadrata è 2.
\begin{vmatrix}5&8&7\\13&11&-2\\18&19&5\end{vmatrix}

Notare che in questo caso la matrice contiene un determinante di terzo ordine che è zero, nove determinanti di secondo ordine non nulli, e nove determinanti di primo ordine (elementi).

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