Analisi matematica/Equazioni a coefficienti reali

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Indice

1 algebriche razionali intere
2 algebriche razionali fratte
3 algebriche irrazionali
4 equazioni trascendenti notevoli

[modifica] algebriche razionali intere

[1] di 1° grado $:\qquad ax+b=0\ ;\qquad x=-{b\over a }\ ;$

determinata se $\ a\ne 0;$ indeterminata se $\ a=b=0;$ impossibile se $\ a=0,\ b\ne 0.$

[2] di 2° grado $:\qquad ax^{2}+bx+c=0;$

$\ x={-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}\over 2a},\qquad ovvero :\qquad x={-k\pm\sqrt{k^{2}-ac}\over a}\qquad (k={b\over 2});$

le due radici sono reali distinte se $\ b^{2}-4ac>0,$

le due radici sono reali coincidenti se $\ b^2-4ac=0,$

le due radici sono complesse coniugate se $\ b^2-4ac<0.$

[3] di 3° grado $:\qquad ax^3+bx^2+cx+d=0$

a) Ponendo $\ x=y-{b\over 3a}$ , l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:

$\ y^3+py+y=0$

da cui $:\qquad y=\sqrt[3]{-{q\over 2}+\sqrt{{q^2\over 4}+{p^3\over 27}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}-\sqrt{{q^2\over 4}+{p^3\over 27}}}$

(formula risolutiva Cardanica)

se ${q^2\over 4}+{p^3\over 27}>0$ , una radice è reale e due complesse coniugate,

se ${q^2\over 4}+{p^3\over 27}=0$ , una radice è reale semplice e una doppia,

se ${q^2\over 4}+{p^3\over 27}<0$ , le tre radici sono reali e distinte.

In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:

${-q\over 2}+i\sqrt[2]{-({q^2\over 4}+{p^3\over 27})}=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$

${-q\over 2}-i\sqrt[2]{-({q^2\over 4}+{p^3\over 27})}=\rho(\cos\theta-i\sin\theta)$

dove:

$\rho=\sqrt[2]{{-p^3\over 27}}\qquad \cos\theta={-q\over 2\rho}\qquad \theta=arc\cos({-q\over2\rho})$

si ha allora:

$\alpha_{1}=\sqrt[3]{\rho}(\cos{\theta\over 3}+i\sin{\theta\over 3}),\qquad\beta_{1}=\sqrt[3]{\rho}(\cos{\theta\over 3}-i\sin{\theta\over 3});$

$\alpha_{2}=\sqrt[3]{\rho}(\cos{\theta+2\pi\over 3}+i\sin{\theta+2\pi\over 3}),\qquad z)$

b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:

se

$\ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

e $\ f(a)=k^2,$ $\ f(b)=-h^2,$ fra $\ a$ e $\ b$ cade almeno una radice. Nota una radice $\ m$ le altre si ottengono uguagliando a $\ 0$ la frazione $\frac{f(x)}{x-m}$ , che è di 2° grado in $\ x$ .

In particolare le equazioni reciproche:

$\ ax^3+bx^2\pm bx\pm a=0$

ammettono la radice $\ x=\mp1;$ le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:

$\ ax^2+(b\mp a)x+a=0.$

c) L'equazione $\ x^3+px+q=0$ alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può in fine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone

$\ y=x^3$

le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica: $\ y=x^3$ ed alla retta: $\ y+px+q=0.$ .

[4] di 4° grado:

$\ ax^4+bx^3+cx^2+dx+c=0.$

Ponendo $\ x=y-{b\over 4a}$ l'equazione si trasforma nella seguente

$\ y^4+px^2+qy+r=0.$

Se $\ q=0,$ essa è biquadratica e si risolve con la posizione: $\ y^2=z.$

Se $\ q\ne 0,$ ponendo: $\ y=u+v+w,$ $\ u^2, v^2, w^2$ trisultano radici dell'equazione cubica:

$\ z^3+{p\over 2}z^2+({p^2\over 16}-{r\over 4})z-{q^2\over 64}=0.$

Se $\ \gamma,\mu,\ni$ sono le radici di questa equazione, si ha:

$\ u=\pm\sqrt[2]{\gamma};\qquad v=\pm\sqrt[2]{\mu};\qquad w=\pm\sqrt[2]{\nu} .$

Si seglieranno poi tre fra i valori di $\ u, v, w$ in modo che si abbia:

$u v w= -{q\over 8},$

e se $\ \sqrt[2]{\gamma}, \sqrt[2]{\mu}, \sqrt[2]{nu}$ sono tali valori, le quattro radici dell'equazione sono date dalle espressioni:

$\ y_{1}=\sqrt[2]{\gamma}+\sqrt[2]{\mu}+\sqrt[2]{\nu},\qquad y_{2}=\sqrt[2]{\gamma}-\sqrt[2]{\mu}-\sqrt[2]{\nu},$

$\ y_{3}=-\sqrt[2]{\gamma}+\sqrt[2]{\mu}-\sqrt[2]{\nu},\qquad y_{4}=-\sqrt[2]{\gamma}-\sqrt[2]{\mu}+\sqrt[2]{\nu}.$

L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in $\ z.$

[5 ]

[modifica] algebriche razionali fratte

Sono le equazioni del tipo:

${P(x)\over Q(x)}=0$

essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due menbri per Q(x).

Sono importanti i seguenti principi:

se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una fubzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni

${P(x)\over Q(x)}=0\quad e\quad P(x)=0$

sono equivalenti.

[modifica] algebriche irrazionali

L'equazione: $\ f(x, \sqrt[n]{\phi (x)})=0$ , essendi f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.