Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine

Equazioni a variabili separabili

Forma tipica:

$\ A(x)B(y)dx+C(x)D(y)dy=0\qquad ovvero:\ {dy \over dx}=f(x)g(y)$.

Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto $\ C(x)B(y)\ e\ si\ ha\ l'equazione:$

$\ {A(x) \over C(x)}dx+{D(y) \over B(y)}dy=0$

che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:

$\ \int {A(x) \over C(x)}dx+\int {D(y) \over B(y)}dy=c$

Esempi:

$\ xydx+{\sqrt {1-x^{2}}}dy=0$

Si dividono i due membri per: $\ y{\sqrt {1-x^{2}}}\ e\ si\ ha:$

$\ {x\ dx \over {\sqrt {1-x^{2}}}}+{dy \over y}=0$

da cui, integrando:

$\ -{\sqrt {1-x^{2}}}+\lg \ y=c\qquad \log \ y={\sqrt {1-x^{2}}}+c$

$\ y=C\ e^{\sqrt {1-x^{2}}}$

funzione che dà l' integrale generale.

Equazione esatta

Forma tipica

$\ A(x,y)dx+B(x,y)dy=0$

con la condizione: $\ {\partial A \over \partial y}={\partial B \over \partial x}$

Soluzione: Si considera $\ y$ costante e si pone l'integrale generale nella forma:

$\ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\varphi (y),$

si determina poi la funzione $\ \varphi (y)$ con la condizione:

$\ {\partial u \over \partial y}=B(x,y)\qquad ovvero:$

$\ B(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial A \over \partial y}\,dx+\varphi '(y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial B \over \partial x}\,dx+\varphi '(y)$

Da cui:

$\ \varphi '(y)=B(x_{0},y)\qquad e\qquad \varphi (y)=\int _{y_{0}}^{y}B(x_{0},y)\,dy.$

Si ha così la formula risolutiva:

$\ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(y_{0},y)\,dy=C$

Esempio: $(x+y)dx+(x+Sin[y])dy=0$

L'equazione è esatta, perché: $\ {\partial (x+y) \over \partial y}={\partial (x+Sin[y]) \over \partial x}=1$

Si ha quindi:

$\ (1)\qquad u(x,y)=\int _{x_{o}}^{x}(x+y)dx+\varphi (y)={x^{2} \over 2}+xy-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y)+\varphi (y)$

con la condizione: $\ {\partial u \over \partial y}=\int _{x_{o}}^{x}{\partial (x+Sin[y]) \over \partial x)}dx+\varphi '(y),$

cioè: $\ x+Sin[y]=x+Sin[y]-(x_{o}+Sin[y])+\varphi '(y)$

da cui si trae: $\ \varphi '(y)=x_{o}+Sin[y],$

ovvero integrando: $\ \varphi (y)=x_{o}y-Cos[y]-(x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]).$

Sostituendo in (1) si trova infine:

$\ u(x,y)={x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]),$

onde l'integrale generale dell'equazione è:

$\ {x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}])=C.$

Equazioni riducibili esatte ossia per le quali esiste un fattore integrante

Caso a

Forma tipica: $Adx+Bdy=0$

Essendo: $\ A(x,y)eB(x,y)$ funzioni omogenee e $\ Ax+By\neq 0;$ il fattore integrante è:$\ {1 \over Ax+By}.$

(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per $\ Ax+By$, e si ottiene così una equazione esatta che si

risolve come è stato indicato per il $\ 2do$ tipo.

(II°) metodo di soluzione: Si pone: $\ y=t$, onde $\ dy=tdx+xdt$ e l'equazione data diventa:

$\ {tdx+xdt \over dx}=f(1,t)$ da cui, separando le variabili: $\ {dx \over x}={dt \over f(1,t)-t}$

e integrando: $\ \log cx=\int _{}{}{1 \over f(1,t)-t}\,dt.$

Esempio: $2xydx+(y^{2}-x^{2})dy=0$

Risolvendo rispetto a y' si ha:

$\ {dy \over dx}={2xy \over x^{2}-y^{2}},\qquad ovvero{dy \over dx}={2{y \over x} \over {1-({y \over x})^{2}}}\qquad (y\neq x)$

Poniamo: $\ y=tx$ onde: $\ dy=tdt+xdt$ e l'equazione diviene:

$\ {tdx+xdt \over dx}={2t \over 1-t^{2}}\qquad ovvero\ :{dx \over x}={1-t^{2} \over t+t^{2}}dt$.

Integrando si ottiene: $\ Cx={xy \over x^{2}+y^{2}}$ ovvero: $\ C(x^{2}+y^{2})=y$ che è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.

Caso b

Forma tipica: $f(xy)ydx+g(xy)xdy=0$

Fattore integrante: $\ {1 \over Ax-By},\qquad essendo\ Ax-By\neq 0$

Esempio: $(x^{2}y^{2}+xy)ydx+(x^{2}y^{2}-1)xdy=0,$

Fattore integrante: $\ {1 \over x^{2}y^{2}+xy}.$

Dividendo l'equazione per $\ x^{2}y^{2}+xy$ si ha:

$\ ydx+(x-{1 \over y})dy=0,$ che è una equazione esatta.

Integrando si ottiene: $\ xy+log\ C=log\ y$ da cui l'integrale generale:

$\ y=Ce^{xy}.$

Caso c

Forma tipica: $Adx+Bdy=0\qquad {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial x})=f(x)$

Quando: ${1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial x})=f(x)$

Fattore integrante: $\ \rho =e^{\int _{}^{}f(x)dx}.$

Esempio: $(x^{2}+y^{2}+2x)dx+2ydy=0$

Si ha: $\ {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial y})={1 \over 2y}2y=1$

onde il fsattore integrante è: $\ \rho =e^{\int _{}^{}dx}=e^{x}.$

Si deduce quindi l'equazione esatta:

$\ e^{x}(x^{2}+y^{2}+2x)dx+2e^{x}ydy=0,$

da cui integrando si ha: $\ e^{x}(x^{2}+y^{2})=C.$

Caso d

Forma tipica: $Adx+Bdy=0\qquad {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial x})=\varphi (y)$

Quando: $\ {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})=\varphi (y),$

Fattore integrante: $\ \rho =e^{\int _{}^{}\varphi (y)dy}$

Esempio: $y^{2}dx+(xy+1)=0$

Si ha: $\ {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})=-{1 \over y},$

onde il fattore integrante è: $\ \rho =e^{\int _{}^{}-{1 \over y}dy}={1 \over y}.$

Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:

$\ ydx+(x+{1 \over y})dy=0,$

il cui integrale generale è:

$\ xy+logy=C.$