Analisi matematica/esempi di integrali generalizzati

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

< Analisi matematica

Vai a: navigazione, ricerca

[modifica] esempi di integrali generalizzati

$\qquad \int_{0}^1 {1+x\over \sqrt[2]{x}}dx,$

la funzione $\ y={1+x\over\sqrt[2]{x}}$ ha un punto di infinito per $\ x=0$ di ordine ${1\over 2}$ , onde si ha:

$\lim_{\delta\to 0} I(\delta)=\lim_{\delta\to 0}\int_{\delta}^{1}{1+x\over \sqrt[2]{x}}dx=\lim_{\delta\to 0}\left(2\sqrt[2]{x}+{2\over 3}\sqrt[2]{x^3}\right)_{\delta}^{1}={8\over 3}$
$\int\int_c {dx dy\over \sqrt[2]{x+y}},$

essendo $\ \Omega$ un quadrato di lato $\ 1$ con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione $\ {1\over x+y}$ ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:

$\lim_{c\to 0}\int \int _{\Omega-\omega}^{}{dxdy\over\sqrt[2]{x+y}}=\lim_{c\to 0 }\left[\int\int_{\Omega_1}{}{dxdy\over \sqrt[2]{x+y}}+2\int\int_{\Omega_2}^{}{dxdy\over \sqrt[2]{x+y}}\right],$

dove $\ \omega$ è un quadratino di lato $\ c$ con un vertice nell'origine , $\ \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$ le parti in cui è diviso $\ Omega$ dalle parallele agli assi per i punti $\ (c,0), (0,c).$

Eseguendo i calcoli si trova:

$\lim_{c\to 0}\int_{c}^{1}dy\int_{c}^{1}{dx\over \sqrt [2]{x+y}}+2\int_{0}^{c}dy\int_{c}^{1}{dx\over \sqrt[2]{x+y=}}={8\over 3}\left(\sqrt[2]{2}-1\right)$
$\int _{a}^{\infty}{dx\over x^2}$

La funzione $\ y={1\over y^2}$ per $\ {x\to \infty}$ è infinitesima di ordine 2.

si ha:

$\lim_{m\to \infty}\int_{a}^{m}{1\over x^2} dx=\lim_{m\to \infty}\left(-{1\over x}\right)_{a}^{m}=\lim_{m\to \infty}\left(-{1\over m}+{1\over a}\right)={1\over a}$ .
$\int_{\Omega}^{}{dxdy\over (1+x^2)(1+y^2)}$

essendo $\ \Omega$ il primo quadrato cartesiano. Allora si ha:

$\lim_{{a\to \infty}\over {b\to \infty}}\int_{0}^{a}{dx\over 1+x^2}\int_{0}^{b}{dy\over 1+y^2}=\lim_{{a\to \infty}\over {b\to \infty}}(\arctan a\cdot\arctan b)={\pi\over 4}.$