Analisi matematica/esempi di integrazione coi diversi metodi

[modifica] esempi di integrazione coi diversi metodi

per decomposizione:

$\int (3x^2+5x+-1)dx=3\int x^2 dx+5\int x dx-\int dx=x^3+{5x^2\over 2}-x+c.$
per sostituzione:

$\int (2x+1)^2 dx={1\over 2}\int t^2 dt={(2x+1)^3\over 6},$

avendo posto $\ :\quad 2x+1=t$ da cui $\ :\quad dx={dt\over 2}.$
per parti:

$\int x\log x\ dx={x^2\log x\over 2}-\int {x^2\over 2}\ d(\log x)={x^2\log x\over2}-{1\over 2}\int x\ dx=$

$={x^2\over 2}(\log x-{1\over 2}),$

avendo posto: $u=\log x,\quad xdx=dv$ da cui:

$\ du={1\over x}\ dx,\qquad v={x^2\over 2}.$
per serie:

Essendo ${1\over 1-x}=(1-x)^{-1}=1+x+x^2+.....dx$ una serie uniformemente convergente per $\ |x|<1$ si ha:

$\int {dx\over 1-x}=\int(1+x+x^2+....)\ dx,$

cioè integrando:

$\ -\log (1-x)=\sum_{n=0}^\infty {x^{n+1}\over n+1},$

ovvero $\ :\qquad \log(1-x)=-(x+{x^2\over 2}+{x^3\over 3}+....).$