Analisi matematica/integrali generalizzati

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[modifica] integrali generalizzati

  1. integrali definiti con la funzione non limitata nel campo \ C di integrazione.
    \ a)\qquad\int_{a}^{b}f(x)dx\qquad con \ f(x) non limitata in \ b:
    \ I=\lim_{\delta\to 0} I(\delta)=\lim_{\delta\to 0}\int_{a}^{b-\delta}f(x)dx.
    \ b)\qquad\int_{a}^{b}f(x) dx con \ f(x) non limtato in \ a:
    \ I=\lim_{\delta\to 0}I(\delta)=\lim_{\delta\to 0}\int_{a+\delta}^{b}f(x) dx
    \ c)\qquad\int_{a}^{b}f(x) con \ f(x) non limitata in \ c essendo: \ a<c<b\ :
    \ I=\lim_{{\delta\to 0}\over {\delta_1\to 0}} I(\delta,\delta_1)=\lim_{{\delta\to 0}\over{\delta_1\to 0}}[\int_{a}^{c-\delta}f(x) dx+\int_{c+\delta_1}^{b}f(x) dx] \ ;
    \ d)\qquad\int_{}^{}\int_{}^{}f(x,y) dx dy con \ f(x,y) non limitata in un punto \ P di \ \Omega \ :
    essendo \ \Omega un dominio elementare contenente il punto \ P .
    Si dimostra che gli integrali generalizzati di questo tipo esistono per quelle funzioni che hanno qualche punto di infinito di ordine \ \alpha<1 .
  2. integrali definiti in un campo C di integrazione non limitato
    \ a)\qquad\int_{a}^{\infty}f(x)dx, con \ f(x) limitata:
    \ I=\lim_{m\to \infty} I(m) = \lim_{m\to \infty}\int_{a}^{m}f(x) dx \ ;
    \ b)\qquad\int_{-\infty}^{b}f(x)dx, con \ f(x) limitata:
    \ I=\lim_{m\to \infty}I(m)=\lim_{m\to \infty}\int_{-m}^{b}f(x) dx;
    \ c)\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx, con \ f(x) limitata :
    \ I=\lim_{{m\to \infty}\over {m_1\to \infty}}I(m, m_1)=\lim_{{m\to \infty}\over {m_1\to \infty}}[\int_{-\infty}^{c}f(x) dx+\int_{c}^{m_1}f(x) dx]\ ;
  1. \ d)\qquad\int{}{}\int_{\Omega}{}f(x,y)dx dy\ , con \ \Omega illimitato e \ f(x,y) limitata :
    \ I=lim_{\Omega_n\to \Omega}\int_{}^{}\int_{\Omega_n}^{}dx dy\ , essendo: \lim_{n\to \infty}\Omega_n=\Omega\ .

Questi integrali generalizzati esistono per quelle funzioni che per \ {x\to 0} o per \ {x\to\infty}, {y\to\infty} sono infinitesime di ordine \ \alpha>1.

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