Analisi matematica/regole di integrazione

[modifica] regole di integrazione

per decomposizione:

$\int{}[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]dx=c_{1}\int{}{}f_{1}dx+c_{2}\int{}{}f_{2}(x)dx$

(proprietà distributiva dell'integrale)
per sostituzione:

$\int{}{}f(x)dx=\int{}{}f[x(t)]{dx\over dt}dt$

avendo posto: $\ x=x(t),$ da cui: $\ dx={dx\over dt}dt$
per parti:

$\int{}{}u(v)dv=u(x)v(x)-\int{}{}v(x)du;$

$\ u(x)$ si dice: 'fattore finito

$\ dv$ si dice: fattore differenziale, perché è il diferenziale di una funzione v(x) nota.
per serie:

Una serie di funzioni è integrabile termine a termine se:

$\ a)\qquad : \ \sum_{n=1}^\infty \int{}{}u_{n}(x)dx$ è convergente in un intervallo $\ (a,b),$

$\ b)\qquad :$ la somma $\ S(x)$ della serie e le funzioni $\ u_{n}(x)$ sono in $\ (a,b)$ integrabili,

$\ c)\qquad :\int{}{}S(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int{}{}u_{n}(x)dx.$

Una serie uniformemente convergente di funzioni continue in un intervallo $\ (a,b)$ è integrabile termine a termine nello stesso intervallo.

In particolare, se una funzione è sviluppabile in serie di Mac-Laurin in un intervallo $\ (-r,r)$ , nello stesso intervallo è integrabile termine a termine.