Analisi matematica I/Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti

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Quando due funzioni (reali) o due successioni sono entrambe infinitesime o entrambe infinite è utile poter stabilire un confronto tra di esse per poter capire quale delle due tenda più rapidamente a 0 o all'infinito. Diciamo che a_n è un infinito di ordine superiore a b_n (ovvero b_n è un infinito di ordine inferiore ad a_n) se \lim_{\n→+∞}(a_n/b_n)=+∞

Si deduce quindi che a_n va all’infinito più velocemente di b_n ovvero: \lim_{\n→+∞}(b_n/a_n)=0

Diciamo che a_n e b_n sono infiniti dello stesso ordine se vanno all’infinito con la stessa velocità: \lim_{\n→+∞}(b_n/a_n)=l, con l∈R\{0} ; se l=1 diciamo che a_n e b_n sono asintotiche e scriviamo a_n~b_n.

[modifica] Gerarchia degli infiniti

Ecco alcuni esempi di funzioni che tendono ad infinito disposte in ordine crescente di velocità:

\log_a{n} < \sqrt[½]{n} < n < n+1 < n^α < cⁿ

con a>1; α>0; c=costante; n→+∞