Analisi matematica I/Limite/1

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Sommario
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Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Definizione di limite
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Il rapporto incrementale
  2. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  3. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  4. Le derivate fondamentali
  5. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  6. Il teorema di de L’Hospital
  7. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  8. o piccolo
  9. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  10. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  11. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

Indice

[modifica] Limite di funzioni da \R a \R

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \,\!, per poi espanderla a casi più generali.

[modifica] Definizione

Quindi iniziamo con una funzione f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \,\!, dove X \,\! è il suo dominio e \reals \,\! la sua immagine. Sia x_0 \,\! un punto di accumulazione di X \,\!. Ora facciamo tendere x \,\! a x_0 \,\! (x \rightarrow x_0 \,\!), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di x_0 \,\! con la proprietà di contenere infiniti punti di X \,\! (questo è garantito dal fatto che x_0 \,\! è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando x \rightarrow x_0 \,\!. Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se P \,\! è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista, P \,\! per x \rightarrow x_0 \,\!, se esiste un intorno di x_0 \,\! che possiede P \,\!.

Ora possiamo dare la definizione di limite:

Definizione: Limite

Sia f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \,\! e x_0 \in X \,\! di accumulazione e l \in \reals \,\!, diremo che il limite di f(x) \,\! per x \,\! che tende a x_0 \,\! è l \,\!:

\lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!

se, per ogni intorno V \,\! di l \,\!, è possibile trovare un intorno U \,\! di x_0 \,\! per cui vale :

f(x)\in V \,\! se x \in U \cap X \setminus\{x_0\}\,\!

in simboli:

\forall \epsilon > 0, \exists\delta > 0: \vert x-x_0 \vert < \delta \implies \vert f(x)-l \vert < \epsilon, \lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!
Definizione: Limite

Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme \reals^* \,\! (insieme numeri reali esteso), che è definito come:

\reals^* = \reals \cup \lbrace -\infty, +\infty \rbrace \,\!

dove -\infty \,\! e +\infty \,\! non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che \reals^* \,\! sia un insieme ordinato, decidiamo che:

\forall x \in \reals : -\infty < x < +\infty \,\!

La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da x_0 \,\! e da l \,\!.

  • Per x_0 \in \R, l \in \R:
\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta = \delta(l) > 0 \ : \ \lim_{x \to x_0}f(x)= l |f(x) - l| < \epsilon \ \forall x \in A \cap (x_0 -\delta, x_0 + \delta) - x_0
  • Per x_0 \in \R, l \in \infty:
\forall k > 0, \exists \delta = \delta(l) > 0 \ \lim_{x \to x_0}f(x) = \infty \ f(x) > k \ \forall x \in A \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta) - x_0
  • Per x_0 = \infty \ l \in \R:
\forall \epsilon > 0 \exists N (\epsilon) \ : \ \lim_{x \to \infty}f(x) = l \ |f(x) - l| < \epsilon \ \forall x \in A \cup {x: x > N(\epsilon)} - x_0.
  • Per x_0 = \infty \ l = \infty:
\forall k > 0 \ \exists N(\epsilon) \ : \ \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty \ f(x) > k \ \forall x \in A \cup (x : x > N(\epsilon)).

Se il limite di una funzione è il seguente \lim_{x \to x_0}f(x) = 0 la funzione si dice infinitesima.

Se il limite di una funzione è il seguente \lim_{x \to x_0}f(x) = \infty la funzione si dice infinita.

[modifica] Esempio 1

Provare che \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty \!

Prendiamo un intorno di +\infty \!, otteniamo:
\kappa \le f(x) \!
perciò:
\kappa \le \frac{1}{x^2} \!
x^2 \le \frac{1}{\kappa} \!
quindi basterà prendere:
x \in \left ( -\frac{1}{\sqrt{\kappa}}, +\frac{1}{\sqrt{\kappa}} \right ) \!
che è un intorno di 0, il limite è verificato.

[modifica] Esempio 2

Provare che \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+2} = 1 \!

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!
separando la disuguaglianza:
1-\epsilon \le \frac{x}{x+2} \mbox{ e } \frac{x}{x+2} \le 1+\epsilon \!
dalle quali otteniamo direttamente:
x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) \mbox{ e } x \ge -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!
dalle quali, per \epsilon > 0 \!:
x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1 \right ) > -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1 \right ) \!
che è un intorno di +\infty \,\!, perciò il limite è verificato.

[modifica] Esempio 3

Provare che \lim_{x \to +\infty} \sin x \! non esiste

Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
\sin x \in \left [ -1; +1 \right ] \!
dalla quale
x \in \left [ -\frac{\pi}{2}+2k\pi; +\frac{\pi}{2}+2k\pi \right ] \!
che non è un intorno di +\infty \!, perciò il limite non esiste.

[modifica] Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

Definizione: Intorno destro e intorno sinistro

Dato x \in \reals \!, definiamo intorno destro di x \! qualsiasi intervallo del tipo [x; x+r) \! con r>0 \! e intorno sinistro qualsiasi intervallo (x-r; x] \!. Da queste definizioni otteniamo che gli intorni di +\infty \! sono sinistri e quelli di -\infty \,\! sono destri.

Definizione: Intorno destro e intorno sinistro

Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:

\lim_{x \to x_0^+} \,\! e \lim_{x \to x_0^-} \,\!

La definizione sarà:

Definizione: Limite destro e limite sinistro

Sia f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \! e x_0 \in X \! di accumulazione e l \in \reals \!, diremo che:

\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l \!

se, per ogni intorno V \! di l \!, è possibile trovare un intorno destro U^+ \! di x_0 \! per cui vale :

f(x)\in V \! se x \ne x_0 \in U^+ \cap X \!

In simboli:

\forall U \in I(l) \ \exists \delta = \delta(x) > 0 \ \lim_{x \to x_0^+}f(x) =l \ \forall x \in A \cap {x_0, x_0 + \delta} - x_0 \!

La stessa cosa si può ripetere per il limite sinistro.

Definizione: Limite destro e limite sinistro


Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

\lim_{x \to x_0} f(x) = l^+ \,\! e \lim_{x \to x_0} f(x) = l^- \,\!

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

[modifica] Teorema di unicità

Teorema: Teorema di unicità

Sia

\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\! e \lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \!

allora

l_1 = l_2 \!
Teorema: Teorema di unicità

[modifica] Dimostrazione

Dimostrazione: Teorema di unicità

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi

\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\! e \lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \!

con l_1 \ne l_2 \,\!, allora esistono due intorni V_1 \,\! di l_1 \,\! e V_2 \,\! di l_2 \,\! tali che siano disgiunti (V_1 \cap V_2 = \empty \,\!). Per definizione devono esistere due intorni U_1 \,\! e U_2 \,\! di x_0 \,\! per cui vale:

f(x) \in V_1 \,\! se x \in U_1 \,\!

e

f(x) \in V_2 \,\! se x \in U_2 \,\!

Dunque prendendo l'intorno di x_0 \,\! costruito come U_1 \cap U_2 \,\!, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che f(x) \in V_1 \,\! e f(x) \in V_2 \,\!, il che è assurdo.

Dimostrazione: Teorema di unicità

[modifica] Teorema di limitatezza locale

Teorema: Teorema di limitatezza locale

Sia

f: X \subseteq \R \to \R \!

Se

\lim_{x \to x_0}f(x) = l \in \R \!

allora esistono, un intorno V \! di x_0 \! e un numero

M > 0, M \in \R \!

tali che

|f(x)| < M , \forall x \in V \cap X \setminus \{x_0\} \!
Teorema: Teorema di limitatezza locale

[modifica] Teorema di esistenza del limite

Teorema: Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite

\lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!

è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali

\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = l \implies \lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!
Teorema: Teorema di esistenza del limite

[modifica] Teorema della permanenza del segno

Teorema: Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia f: X \subseteq \R \to \R\! e x_0, l \in \R^* \! con x_0 \! di accumulazione per X \!, allora

\lim_{x \to x_0}f(x) = l >0\,(<0) \Rightarrow f(x)>0\,(<0) \mbox{ per } x \to x_0 \!
Teorema: Teorema della permanenza del segno

[modifica] Dimostrazione

Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

Poniamo l\in\R,\,l>0\!. Preso l'intorno V = (l-\epsilon;l+\epsilon) \! con 0<\epsilon<l\! (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione di limite, esiste un intorno U\! di x_0\!, per il quale

f(x)\in V\qquad\forall x \in U \cap X \backslash \left \{ x_0 \right \} \!

cioè

l+\epsilon>f(x)>l-\epsilon>0\!
Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per +\infty\! e -\infty\!.

[modifica] Corollari

Corollario: Teorema della permanenza del segno

Sia f: X \subseteq \R\to\R \! e I(x_0) \! un intorno di x_0\! di accumulazione per X \!.

Se

f(x) \geq g(x) \forall x \in I(x_0) \cap X \backslash \{ {x_0} \} \!

e se

\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1 \!
\lim_{x \to x_0}g(x) = l_2 \!

allora

l_1 \geq l_2
Corollario: Teorema della permanenza del segno

[modifica] Teorema del confronto

Teorema: Teorema del confronto

Siano

f, g , h: X \subseteq \R \rightarrow \R \qquad f, g, h \in C^0(X;\R) \!

e x_0 \! un punto di accumulazione per X \!.

Se

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \!

e se esiste un intorno U \! di x_0 \! tale che risulti

f(x) \le g(x) \le h(x) \qquad \forall x \in U \cap X\backslash \left \{ x_0 \right \} \!

allora

\lim_{x \to x_0} g(x) = l \!
Teorema: Teorema del confronto

[modifica] Dimostrazione

Dimostrazione: Teorema del confronto

Sia

l \in \reals \!

preso un intorno V \! di l \!, (l-\epsilon, l+\epsilon) \! esistono intorni U_1 \! e U_2 \! di x_0 \!.

Per definizione abbiamo

x \ne x_0 \in U_1 \implies f(x) \in V \!

e

x \ne x_0 \in U_2 \implies h(x) \in V \!

Allora, preso l'intorno U = U_1 \cap U_2 \,\! di x_0 \!, succede, per ipotesi, che:

l-\epsilon \le f(x) \le g(x) \le h(x) \le l+\epsilon \!

cioè

x \in U \backslash \left \{ x_0 \right \} \implies g(x) \in V \!
Dimostrazione: Teorema del confronto

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi l = \pm \infty \!, ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

[modifica] Esempio

L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \!

Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia 0<x<\frac{\pi}{2}\! la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

File:W:it:Limsinxoverx.png
\overline{OA} = 1 \!

Allora

\overline{PH} = \sin x\!
\overline{QA} = \tan x\!

Si ha dunque

\sin x < x < \tan x \!

da cui, dividendo per \sin x\!

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \!

prendendo i reciproci

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \!

sapendo che la disuguaglianza non cambia per -x \! e che \lim_{x\to 0} \cos x = 1 \!, sfruttando il teorema del confronto otteniamo

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \!

[modifica] Calcolo dei limiti

[modifica] Teoremi

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia f: X_f \subseteq \R \to \R,\,g: X_g \subseteq \R \to \R,\,X_f \cap X_g \ne \varnothing \! e x_0 \! un punto di accumulazione per X_f,\,X_g \!.

Se

\exists \lim_{x \to x_0}f(x) = l_1 \mbox{ e } \exists \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2 \!

allora

  1. \lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad c \in \R \!
  2. \lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2 \!
  3. \lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2 \!
  4. \lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0 \!
  5. \lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0 \!
Teorema: Operazioni con i limiti

È evidente la validità dei teoremi per valori di \R\! (numeri reali), invece per elementi appartenenti a \R^*\! (in particolare per i casi \pm\infty\!) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia f: X_f \subseteq \R \to \R,\,g: X_g \subseteq \R \to \R,\,X_f \cap X_g \ne \varnothing \! e x_0 \! un punto di accumulazione per X_f,\,X_g \!.

Se

\exists \lim_{x \to x_0}f(x),\,\exists \lim_{x \to x_0}g(x) = l \mbox{ (finito) e }c\in\R\!

allora

  1. f(x)\to \pm\infty,\,c>0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \pm\infty \!
  2. f(x)\to \pm\infty,\,c<0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \mp\infty \!
  3. f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) + g(x)) = \pm\infty \!
  4. f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) - g(x)) = \pm\infty \!
  5. f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = 0^\pm \!
  6. f(x)\to 0^\pm\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = \pm\infty \!
  7. f(x)\to \pm\infty,\,l>0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \pm\infty \!
  8. f(x)\to \pm\infty,\,l<0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \mp\infty \!
Teorema: Operazioni con i limiti

Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

  • l\cdot\pm\infty = \pm\infty\!
  • \pm\infty + l = \pm\infty\!
  • +\infty + \infty = + \infty\!
  • +\infty\cdot\pm\infty = \pm\infty\! (seguendo la regola dei segni convenzionale)
  • \frac{l}{\pm\infty} = 0^\pm \!

Casi mancanti all'elenco precendete conducono ad esrepssioni del tipo:

  • +\infty-\infty\!
  • 0\cdot\pm\infty\!
  • \frac{\pm\infty}{\pm\infty}\!
  • \frac{0}{0}\!

Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione.

[modifica] Dimostrazione

La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)

Preso

\left | f(x)-l_1 \right | < \epsilon \!

otteniamo direttamente

c \cdot \left | f(x)-l_1 \right | < c \cdot \epsilon \to \left | c \cdot f(x)- c \cdot l_1 \right | < c \cdot \epsilon \!

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)

Presi

\left | f(x)-l_1 \right | < \epsilon \! e \left | g(x)-l_2 \right | < \epsilon \!

dall'espressione

\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | \!

per la disuguaglianza triangolare otteniamo

\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | < \left | f(x) - l_1 \right | + \left | g(x) - l_2 \right | \!
\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | < 2 \cdot \epsilon \!

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Preso

f(x) \cdot g(x) - l_1 \cdot l_2 \!

aggiungiamo e togliamo g(x) \cdot l_1 \! otteniamo

g(x) \cdot \left ( f(x) - l_1 \right ) + l_1 \cdot \left ( g(x) - l_2 \right ) \!

posti

\left | f(x) - l_1 \right | < \epsilon \! e \left | g(x) - l_2 \right | < \epsilon \!
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

[modifica] Forme di indecisione

Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.

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