Calcolo mentale

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Copertina

Svolgere alcuni calcoli matematici usando solo il proprio cervello può talvolta sembrare difficile.
Questo piccolo manuale vuole proporre alcune tecniche e metodi che possono facilitare di molto queste operazioni.

Indice

[modifica] Addizioni

Quando si devono addizionare molti numeri piccoli, è comodo riunirli per formare dei multipli di 10.

[modifica] Esempio

Per esempio dovendo svolgere 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8, conviene scriverlo (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45.
Si tratta semplicemente delle proprietà commutativa e associativa dell'addizione.

[modifica] Sottrazioni

Conviene partire dal numero più piccolo e aggiungere man mano cercando di raggiungere dei valori più semplici (per esempio divisibili per 10) fino a quando non si ottiene l'altro numero.

[modifica] Esempio

Per esempio, per sottrare 67 da 213 si parte dal numero più piccolo, 67, e si aggiunge 3, 30, 100 e 13.
Così da 67 si passerebbe a 70, poi 100, 200, e 213 - sommando i numeri che abbiamo usato vediamo che il risultato è 146.

[modifica] Moltiplicazioni

Moltiplicando è molto importante scegliere le somme più semplici.

[modifica] Esempio

Per esempio 251 \times 325 può sembrare una moltiplicazione piuttosto difficile, ma più facile se scritta come (251 \times 5) + (251 \times 20) + (251 \times 300), o anche, in maniera più essenziale, come (251 \times 300) + (251 \times 25).

[modifica] Fattorizzare

Se uno o più numeri sono facilmente divisibili, si può rendere il tutto più semplice. Per esempio 72 \times 39 può sembrare difficile, mentalmente, ma come 8 \times 9 \times 3 \times 13 diventa più gestibile.

Per prima cosa, metti in ordine i numeri dal più difficile da moltiplicare all'ultimo. Poi esegui le moltiplicazioni una alla volta.

  1. 13 \times 8 = 10 \times 8 + 3 \times 8 = 80 + 24 = 104
  2. 104 \times 9 = 936
  3. 936 \times 3 = 2808

[modifica] Prime cifre uguali, seconde cifre hanno somma 10

Se i numeri soddisfano questa condizioni, si può usare una tecnica molto semplice:

  1. Moltiplichiamo la prima cifra per se stessa più 1.
  2. Moltiplichiamo fra di loro le seconde cifre.
  3. Mettiamo il secondo prodotto alla destra del primo per ottenere la soluzione.

Esempio: 98 \times 92

  1. 9 \times 10 = 90
  2. 8 \times 2 = 16
  3. 9016\

[modifica] Fattori appena sopra 100

Se i numeri sono di poco superiori a 100 e le ultime due cifre di entrambi danno un prodotto inferiore a 100, possiamo usare un'altra tecnica.

Esempio
  • 103 \times 124. 3 \times 24 = 72, che è minore di 100, quindi questa tecnica può essere usata.
  • 117 \times 112. 17 \times 12 = 204, che è maggiore di 100, e quindi la tecnica non può essere usata.

Se questo test da esito positivo (prodotto ultime due cifre < 100), allora il risultato della moltiplicazione sarà uguale a...

1[somma delle due ultime cifre][prodotto delle ultime due cifre]
Esempi
  • 108 \times 109 = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11.772
  • 105 \times 115 = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12.075
  • 132 \times 103 = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13.596

Per numeri appena sopra 200, 300, 400 e così via la formula è un po' più complessa:

[prodotto prime cifre][(somma ultime due cifre] \times prima cifra][prodotto ultime due cifre]
Esempi
  • 215 \times 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43.860
  • 417 \times 403 = [4x4][(17+3)x4][3x17] = [16][20x4][51] = [16][80][51] = 168.051

Per numeri appena sopra 1000, 2000, 3000 e cosi via, si fa così:

[prodotto prime cifre]0[(somma ultime due cifre) \times prima cifra]0[prodotto ultime due cifre]

Esempi:

  • 2.008 \times 2.009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4.034.072
  • 3.005 \times 3.007 = [3x3]0[(5+7)x3]0[7x5] = [9]0[12 \times 3]0[35] = [9]0[36]0[35] = 9.036.035
  • 5.004 \times 5.006 = [5x5]0[(4+6)x5]0[6x4] = [25]0[10x5]0[24] = [25]0[50]0[24] = 25.050.024

[modifica] Verticale e diagonale

Se i moltiplicatori non hanno più di due cifre ciascuno, si può usare questa tecnica.

Essendo la moltiplicazione AB \times CD, e facendo un esempio con 38 \times 25, il prodotto viene formato così:

unità 
prodotto delle unità dei moltiplicatori, quindi B \times D = 8 \times 5 = 40, che diventa 0 unità con 4 decine di riporto.
decine
somma dei prodotti diagonali, decine del primo moltiplicatore per unità del secondo e viceversa, quindi AD + BC, cioè 3 \times 5 + 8 \times 2 = 15 + 16 = 31, +4 per il riporto = 35 che si scrive come 5 con 3 centinaia di riporto.
centinaia
prodotto delle decine dei moltiplicatori, quindi A \times C = 3 \times 2 = 6, +3 per il riporto = 9.

La soluzione in questo esempio sarà 950.

La tecnica è quindi:

A B x
C D =
-----
(A  \times C)  \times 100 + (AD + BC)  \times 10 + (B  \times D).

Da questo si capisce anche l'origine del nome.

[modifica] Elevare al quadrato

Questa tecnica può rilevarsi utile per numeri vicino alle potenze di 10:

  1. Scegliere un numero da quadrare.
  2. Scegliere una base, ovvero una potenza di 10 il più possibile vicina al numero.
  3. Notare la differenza fra il numero da quadrare e la base.
  4. Aggiungere questa differenza al numero e moltiplicare il risultato per la base.
  5. Elevare al quadrato la differenza di prima, sommarla al numero di sopra.
  6. Quello ottenuto è il numero al quadrato.

[modifica] Esempi

  • Numero da quadrare: 17
    1. Base: 10 (101)
    2. Differenza fra 17 e 10: 7
    3. Aggiungere 7 a 17 (=24), moltiplicare per 10: = 240
    4. Elevare al quadrato 7 e sommarlo a 240: (49 + 240) = 289
  • Numero da quadrare: 98
    1. Base: 100 (102)
    2. Differenza fra 98 e 100: -2
    3. Aggiungere -2 a 98 (=96), moltiplicare per 100:(96 \times 100) = 9.600
    4. Elevare al quadrato -2 e sommarlo a 9600: (4 + 9.600) = 9.604

[modifica] Quadrati di numero con 5 come ultima cifra

  • Prendere il numero formato dalle cifre prima di questo ultimo 5.
  • Sommargli il suo quadrato e porre 25 alla sua destra.

[modifica] Esempi

  • 352 = ((3\times3)+3)25 = 1.225
  • 752 = ((7\times7)+7)25 = 5.625
  • 1152 = ((11\times11)+11)25 = 13225

[modifica] Variante

Un altro metodo (più semplice) è il seguente:

  • Si prende il numero delle decine e si moltiplica per il suo successivo.
  • Al risultato si aggiunge 25.

[modifica] Esempi

  • 652 =
    1. si prende il 6 e si moltiplica per il suo successivo che è 7 ottenendo 6 \times 7=42
    2. al numero 42 ottenuto si aggiunge 25 e si ottiene 4225 (che è 652)
  • Altro esempio: 95^2 = 9 \times 10 = 90; a 90 aggiungo 25 e ottengo 9025 che è 952

[modifica] Arrotondare

Una delle cose più facili è vedere se ci sono numeri che possono rendere il tutto più semplice.
Per esempio, dovendo svolgere 251 \times 325, notiamo che il numero 251 è prossimo a 250. Quindi si può calcolare (325 \times 250) + 325. Poiché 250 è 1/4 di 1.000, moltiplicare per 250 significa aggiungere tre zeri per poi dividere per 4, quindi abbiamo 325.000/4, che si può svolgere dimezzando 2 volte il numero, che diventa prima 162.500 e poi 81.250.
Aggiungendo il 325 di prima, abbiamo 81.575. Questo metodo può sembrare complicato, ma con un po' di pratica è molto più semplice che quello 'classico'.

[modifica] Divisioni

Ci sono molte possibili tecniche, quelle di seguite indicate sono solo alcune.
Tutti i numeri sono prodotti di numeri i primi. Se si sta effetuando una divisione, si può sfruttare questa proprietà. Per esempio 100/24 è uguale a 100 diviso ( 2 \times 2 \times 2 \times 3), è quindi si può svolgere dimezzando 100 per tre volte, per poi dividerlo per 3.
Ovviamente questo significa dover fare più passaggi, ma saranno comunque più semplici.
100/2 -> 50, /2 -> 25, /2 -> 12.5, /3 = ~4.16

Un altra tecnica, quando devi prima moltiplicare e poi dividere, svolgi prima la divisione, magari scomponendola in più operazioni, e poi moltiplicare.
In questo modo eviti che i numeri diventino troppo grandi e quindi difficili da gestire.
Per esempio, dovendo svolgere (18 \times 115)/15, è molto più comodo dividere 115 per 5(=23) e 18 per 3(=6).
Dividere entrambi i moltiplicandi per 5 e 3 è valido, perché 5 \times 3 = 15.
A questo punto, moltiplicando 23 \times 6, otteniamo 138, che è il quoziente di questa divisione.

[modifica] Stime veloci

Il metodo migliore per fare una stima mentale veloce di un calcolo e arrotondare a una o due cifre significative per poi utilizzare le operazioni tipiche.
Quindi 1.241 \times 15.645 vale, in maniera approsimativa, come 1.200 \times 16.000=19.200.000, che è un valore ragionevolmente vicino al prodotto corretto, 19.415.445.

Un metodo ancora più performante, consiste nell'utilizzare i logaritmi, che trasformano moltiplicazioni in addizioni, divisioni in sottrazioni, potenze e radici in moltiplicazioni e divisioni. Tuttavia tale tecnica richiede la conoscenza delle tavole logaritmiche e dei relativi metodi..

[modifica] Altre tecniche di calcolo mentale

Una delle tecniche più utili è la memorizzazione.
Può sembrare una perdita di tempo memorizzare alcuni valori matematici, come quadrati e cubi perfetti, fattorizzazioni prime o equivalente decimali di frazioni(come 1/7 = 0,1428...), ma questo può aumentare di molto la propria velocità di calcolo.
Per esempio, risolvere 1024/32 è molto facile se si sa che è la stessa cosa di \frac {2^{10}} {2^5}, che per le proprietà delle potenze ci da 25 = 32.

Il modo migliore per memorizzare questi valori è usarli costantemente - quindi evidente la pratica e l'esercizio sono molto importanti.

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