Calcolo mentale

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Copertina

Svolgere alcuni calcoli matematici usando solo il proprio cervello può talvolta sembrare difficile.
Questo piccolo manuale vuole proporre alcune tecniche e metodi che possono facilitare di molto queste operazioni.

Addizioni[modifica]

Quando si devono addizionare molti numeri piccoli, è comodo riunirli per formare dei multipli di 10.

Esempio[modifica]

Per esempio dovendo svolgere 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8, conviene scriverlo (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45.
Si tratta semplicemente delle proprietà commutativa e associativa dell'addizione.

Sottrazioni[modifica]

Conviene partire dal numero più piccolo e aggiungere man mano cercando di raggiungere dei valori più semplici (per esempio divisibili per 10) fino a quando non si ottiene l'altro numero.

Esempio[modifica]

Per esempio, per sottrare 67 da 213 si parte dal numero più piccolo, 67, e si aggiunge 3, 30, 100 e 13.
Così da 67 si passerebbe a 70, poi 100, 200, e 213 - sommando i numeri che abbiamo usato vediamo che il risultato è 146.

Moltiplicazioni[modifica]

Moltiplicando è molto importante scegliere le somme più semplici.

Esempio[modifica]

Per esempio 251 \times 325 può sembrare una moltiplicazione piuttosto difficile, ma più facile se scritta come (251 \times 5) + (251 \times 20) + (251 \times 300), o anche, in maniera più essenziale, come (251 \times 300) + (251 \times 25) o meglio come (251 \times 300)+251 \times 100/4 . La stessa cosa ma usando la sottrazione 251\times 92 si può fare come (251\times100)-(251\times8) può diventare: 25100-(251\times10-251\times2) = 25100-(2510-502) = 25100-2008 = 23092

Fattorizzare[modifica]

Se uno o più numeri sono facilmente divisibili, si può rendere il tutto più semplice. Per esempio 72 \times 39 può sembrare difficile, mentalmente, ma come 8 \times 9 \times 3 \times 13 diventa più gestibile.

Per prima cosa, metti in ordine i numeri dal più difficile da moltiplicare all'ultimo. Poi esegui le moltiplicazioni una alla volta.

  1. 13 \times 8 = 10 \times 8 + 3 \times 8 = 80 + 24 = 104
  2. 104 \times 9 = (100 \times 9) + (4 \times 9) = 900 + 36 = 936
  3. 936 \times 3 = 2808

Prime cifre uguali, seconde cifre hanno somma 10[modifica]

Se i numeri soddisfano questa condizioni, si può usare una tecnica molto semplice:

  1. Prendiamo il numero 9 del moltiplicando e moltiplichiamolo per il suo naturale successivo (10).
  2. Moltiplichiamo fra di loro le seconde cifre.
  3. Mettiamo il secondo prodotto alla destra del primo per ottenere la soluzione.

Esempi:


  • 98 \times 92


  1. 9 \times 10 = 90
  2. 8 \times 2 = 16
  3.  9016\


  • 67 \times 63


  1. 6 \times 7 = 42
  2. 7 \times 3 = 21
  3.  4221\


  • 115 \times 115


  1. 11 \times 12 = 132
  2. 5 \times 5 = 25
  3.  13225\

Fattori appena sopra 100[modifica]

Se i numeri sono di poco superiori a 100 e le ultime due cifre di entrambi danno un prodotto inferiore a 100, possiamo usare un'altra tecnica.

Esempio
  • 103 \times 124 test: 3 \times 24 = 72, che è minore di 100, quindi questa tecnica può essere usata.
  • 117 \times 112 test: 17 \times 12 = 204, che è maggiore di 100, e quindi la tecnica non può essere usata.

Se questo test dà esito positivo (prodotto ultime due cifre < 100), allora il risultato della moltiplicazione sarà uguale a...

1[somma delle due ultime cifre][prodotto delle ultime due cifre]
Esempi
  • 103 \times 102 = 1[03+02][03x02] = 1[05][06] = 10.506
  • 108 \times 109 = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11.772
  • 105 \times 115 = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12.075
  • 132 \times 103 = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13.596

Per numeri appena sopra 200, 300, 400 e così via la formula è un po' più complessa:

[prodotto prime cifre][(somma ultime due cifre]  \times prima cifra][prodotto ultime due cifre]

Se nella formula [(somma ultime due cifre]  \times prima cifra] ho un riporto di 1 devo sommarlo al [prodotto prime cifre]. Esempio 433 x 401 = [4x4][(33+1)x4][33x1] = [16][34x4][33] = [16]+[1][36][33] = 173.633

Esempi
  • 215  \times 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43.860
  • 417  \times 403 = [4x4][(17+3)x4][3x17] = [16][20x4][51] = [16][80][51] = 168.051

Per numeri appena sopra 1000, 2000, 3000 e cosi via, si fa così:

[prodotto prime cifre]0[(somma ultime due cifre)  \times prima cifra]0[prodotto ultime due cifre]

Esempi:

  • 2.008  \times 2.009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4.034.072
  • 3.005  \times 3.007 = [3x3]0[(5+7)x3]0[7x5] = [9]0[12  \times 3]0[35] = [9]0[36]0[35] = 9.036.035
  • 5.004  \times 5.006 = [5x5]0[(4+6)x5]0[6x4] = [25]0[10x5]0[24] = [25]0[50]0[24] = 25.050.024

Verticale e diagonale[modifica]

Se i moltiplicatori non hanno più di due cifre ciascuno, si può usare questa tecnica.

Essendo la moltiplicazione AB \times CD, e facendo un esempio con 38 \times 25, il prodotto viene formato così:

unità 
prodotto delle unità dei moltiplicatori, quindi B \times D = 8 \times 5 = 40, che diventa 0 unità con 4 decine di riporto.
decine
somma dei prodotti diagonali, decine del primo moltiplicatore per unità del secondo e viceversa, quindi AD + BC, cioè 3 \times 5 + 8 \times 2 = 15 + 16 = 31, +4 per il riporto = 35 che si scrive come 5 con 3 centinaia di riporto.
centinaia
prodotto delle decine dei moltiplicatori, quindi A \times C = 3 \times 2 = 6, +3 per il riporto = 9.

La soluzione in questo esempio sarà 950.

La tecnica è quindi:

A B x
C D =
-----
(A  \times C)  \times 100 + (AD + BC)  \times 10 + (B  \times D).

Da questo si capisce anche l'origine del nome.

Elevare al quadrato[modifica]

Questa tecnica può rilevarsi utile per numeri vicino alle potenze di 10:

  1. Scegliere un numero da quadrare.
  2. Scegliere una base, ovvero una potenza di 10 il più possibile vicina al numero.
  3. Notare la differenza fra il numero da quadrare e la base.
  4. Aggiungere questa differenza al numero e moltiplicare il risultato per la base.
  5. Elevare al quadrato la differenza di prima, sommarla al numero di sopra.
  6. Quello ottenuto è il numero al quadrato.

Esempi[modifica]

  • Numero da quadrare: 17
    1. Base: 10 (10^1)
    2. Differenza fra 17 e 10: 7
    3. Aggiungere 7 a 17 (=24), moltiplicare per 10: = 240
    4. Elevare al quadrato 7 e sommarlo a 240: (49 + 240) = 289
  • Numero da quadrare: 98
    1. Base: 100 (10^2)
    2. Differenza fra 98 e 100: -2
    3. Aggiungere -2 a 98 (=96), moltiplicare per 100:(96 \times 100) = 9.600
    4. Elevare al quadrato -2 e sommarlo a 9600: (4 + 9.600) = 9.604

Quadrati di numero con 5 come ultima cifra[modifica]

  • Prendere il numero formato dalle cifre prima di questo ultimo 5.
  • Sommargli il suo quadrato e porre 25 alla sua destra.

Esempi[modifica]

  • 35^2 = ((3\times3)+3)25 = 1.225
  • 75^2 = ((7\times7)+7)25 = 5.625
  • 115^2 = ((11\times11)+11)25 = 13225

Variante[modifica]

Un altro metodo (più semplice) è il seguente:

  • Si prende il numero delle decine e si moltiplica per il suo successivo.
  • Al risultato si aggiunge 25.

Esempi[modifica]

  • 65^2 =
    1. si prende il 6 e si moltiplica per il suo successivo che è 7 ottenendo 6 \times 7=42
    2. al numero 42 ottenuto si aggiunge 25 e si ottiene 4225 (che è 65^2)
  • Altro esempio: 95^2 = 9 \times 10 = 90; a 90 aggiungo 25 e ottengo 9025 che è 95^2

Arrotondare[modifica]

Una delle cose più facili è vedere se ci sono numeri che possono rendere il tutto più semplice.
Per esempio, dovendo svolgere 251  \times 325, notiamo che il numero 251 è prossimo a 250. Quindi si può calcolare (325  \times 250) + 325. Poiché 250 è 1/4 di 1.000, moltiplicare per 250 significa aggiungere tre zeri per poi dividere per 4, quindi abbiamo 325.000/4, che si può svolgere dimezzando 2 volte il numero, che diventa prima 162.500 e poi 81.250.
Aggiungendo il 325 di prima, abbiamo 81.575. Questo metodo può sembrare complicato, ma con un po' di pratica è molto più semplice che quello 'classico'.

Divisioni[modifica]

Ci sono molte possibili tecniche, quelle di seguito indicate sono solo alcune.
Tutti i numeri sono prodotti di numeri primi. Se si sta effettuando una divisione, si può sfruttare questa proprietà. Per esempio 100/24 è uguale a 100 diviso ( 2 \times 2 \times 2 \times 3), è quindi si può svolgere dimezzando 100 per tre volte, per poi dividerlo per 3.
Ovviamente questo significa dover fare più passaggi, ma saranno comunque più semplici.
100/2 -> 50, /2 -> 25, /2 -> 12.5, /3 = ~4.16

Un'altra tecnica, quando devi prima moltiplicare e poi dividere, svolgi prima la divisione, magari scomponendola in più operazioni, e poi moltiplicare.
In questo modo eviti che i numeri diventino troppo grandi e quindi difficili da gestire.
Per esempio, dovendo svolgere (18 \times 115)/15, è molto più comodo dividere 115 per 5(=23) e 18 per 3(=6).
Dividere entrambi i moltiplicandi per 5 e 3 è valido, perché 5  \times 3 = 15.
A questo punto, moltiplicando 23  \times 6, otteniamo 138, che è il quoziente di questa divisione.

Stime veloci[modifica]

Il metodo migliore per fare una stima mentale veloce di un calcolo e arrotondare a una o due cifre significative per poi utilizzare le operazioni tipiche.
Quindi 1.241  \times 15.645 vale, in maniera approssimativa, come 1.200  \times 16.000=19.200.000, che è un valore ragionevolmente vicino al prodotto corretto, 19.415.445.

Un metodo ancora più performante, consiste nell'utilizzare i logaritmi, che trasformano moltiplicazioni in addizioni, divisioni in sottrazioni, potenze e radici in moltiplicazioni e divisioni. Tuttavia tale tecnica richiede la conoscenza delle tavole logaritmiche e dei relativi metodi.

Altre tecniche di calcolo mentale[modifica]

Una delle tecniche più utili è la memorizzazione.
Può sembrare una perdita di tempo memorizzare alcuni valori matematici, come quadrati e cubi perfetti, fattorizzazioni prime o equivalente decimali di frazioni(come 1/7 = 0,1428...), ma questo può aumentare di molto la propria velocità di calcolo.
Per esempio, risolvere 1024/32 è molto facile se si sa che è la stessa cosa di  \frac {2^{10}} {2^5}, che per le proprietà delle potenze ci da 2^5 = 32.

Il modo migliore per memorizzare questi valori è usarli costantemente, ed è quindi evidente che la pratica e l'esercizio sono fondamentali.