Comunicazioni elettriche

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Indice

1 Sommario
2 Parte 1
- 2.1 Richiami di Controlli Automatici
3 Collegamenti esterni

[modifica] Sommario

Propagazione

[modifica] Parte 1

[modifica] Richiami di Controlli Automatici

Dal punto di vista di Comunicazioni Elettriche bisogna osservare che la parte di controlli automatici che serve è in pratica tutta la parte di analisi spettrale e di sviluppo di Fourier.

Lo sviluppo in serie di un segnale ha per definizione la forma
$x(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}$

con $\omega_0 = \frac {2 \pi}{T}$ , detta pulsazione fondamentale, e $c_n=\frac{1}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}} {x(t)\cdot e^{-jn\omega_0t} dt}$

Dalle formule appena descritte si osserva che i coefficienti che compongono $x (t)$ sono sempre ortogonali. Questo permette di constatare che generalmente si ha una $x (t)$ complessa.

[modifica] Segnali periodici

Un segnale si dice periodico quando di ha $x (t + T) = x (t)$

Per questo motivo possiamo affermare che
$x(t)=\sum_{-\infty}^{-1}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}+\underbrace{c_0}_{valore medio del segnale}+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}$ ${}=\sum_{1}^{\infty}{c_{-n} \cdot e^{-jn\omega_0t}}+c_0+\sum_{1}^{\infty}{c_n \cdot e^{jn\omega_0t}}$ ${}=c_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {2c_n \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }$

Questo può portare a due diverse ma comunque corrette interpretazioni della formula, ognuna dovuta ad una diversa analisi dei coefficienti complessi. Infatti possiamo dire due cose:

$c_0=A_0=\frac {1}{2}a_0$ $c_n=A_n \cdot e^{-j\varphi_n}=a_n-j\cdot b_n$

Utilizzando nella formula precedente la prima forma, ovvero la definizione polare, si ha, quindi $x(t)=A_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ {A_n \cdot e^{-j\varphi_n} \cdot e^{jn\omega_0t}} \} }$ ${}= A_0+\sum_{1}^{\infty}{A_n \cos(n\omega_0t-\varphi_n)}$ nella quale i coefficienti $A 0$ e $A n$ sono gli elementi dello spettro di ampiezza e le fasi $\varphi_n$ sono gli elementi dello spettro di fase.

Utilizzando al contrario la definizione cartesiana, si ha che $x(t)=\frac {1}{2}a_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ (a_n-j\cdot b_n) \cdot e^{jn\omega_0t} \} }$ ${}=\frac {1}{2}a_0+\sum_{1}^{\infty} {Re\{ (a_n-j\cdot b_n) \cdot (\cos(n\omega_0t)+j\cdot \sin(n\omega_0t)) \} }$ ${}=\frac {1}{2}a_0+\sum_{1}^{\infty} {a_n\cos(n\omega_0t)+ \sum_{1}}^{\infty}{b_n) \sin(n\omega_0t)}$ in cui la prima parte è nulla se la funzione è dispari, mentre è nulla la seconda parte se la funzione è pari.

Da queste osservazioni si può notare dunque che lo sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico ha sempre senso dando un numero limitato di armoniche.

[modifica] Segnali Aperiodici

Diverso è il caso dei segnali aperiodici, per i quali uno sviluppo in serie dà un risultato non utile: un segnale di questo tipo ha infatti infinite armoniche.

[modifica] Analisi frequenziale

Ora manca solo un collegamento che porti dall'analisi degli spettri di ampiezza e fase ad una analisi puramente frequenziale. Per questo è necessario definire una nuova funzione: $X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} {x(t) e^{-j\omega t}dt}$ In questo modo possono essere infatti definite due ulteriori funzioni molto utili al fine della costruzione dei diagrammi di Bode, che permettono di osservare il tipo di filtro generato dalla funzione $x (t)$ : $V(\omega)=\frac {\left|X(\omega)\right|} {\pi}$ $\varphi(\omega)=-arg(X(\omega))$