Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

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Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

$\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,$

$\pi \approx 3.141592\dots\,$

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi matematica.

[modifica] L'idea

$0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi$

quindi

$\frac{22}{7} > \pi.$

[modifica] I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

$0\,$	$<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx$
	$=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx$
	$=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx$
	$=\left[\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right]_0^1$
	$=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\$
	$=\frac{22}{7}-\pi.$