Elettronica pratica/Moltiplicatori analogici

Un moltiplicatore analogico è un circuito con un'uscita che è proporzionale al prodotto di due ingressi:

$v_{out} = K v_1 \cdot v_2$

in cui K è un valore costante la cui dimensione è l'inverso di una tensione. In generale ci si può attendere che i due ingressi siano entrambi positivi oppure negativi, e così possano essere le uscite. In ogni modo, la maggior parte delle realizzazioni funziona soltanto se entrambe le entrate sono esattamente positive: ciò non è un tale limite dato che si può cambiare l'entrata e l'uscita per avere un nucleo che lavora con segnali positivi solamente ma interfaccie esterne che operano con qualsiasi polarità (all'interno di certi limiti a seconda della configurazione particolare).

Verranno mostrate due possibili realizzazioni. Entrambe useranno amplificatori operazionali, ma la prima ricorrera ai diodi per ottenere le richieste relazioni, la seconda ai transistori MOSFET.

realizzazione a diodi

Come è noto, usando amplificatori operazionali e diodi è molto facile ottenere il logaritmo e l'esponenziale di un certo ingresso. Ricordando la proprietà del logaritmi:

$\log (a \cdot b) = \log a + \log b$

due segnali possono essere moltiplicati prima calcolando i loro logaritmi, poi sommandoli ed alla fine calcolando l'esponenziale di una tale somma. Dal punto di vista dei matematici, un tale approccio funziona purché i due ingressi siano positivi, poiché il logaritmo di un numero negativo non esiste (nel dominio del reale). Vedremo che questo limite è altrettanto valido per i circuiti reali, anche se la ragione sarà più fisica. Il diagramma a blocchi di questa realizzazione è il seguente:

Volendo semplicemente il circuito per il logaritmo, per la somma e per l'esponenziale otteniamo la seguente configurazione:

per una rapida esamina del comportamento del circuito, assumeremo che tutti i resistori "R" abbiano il medesimo valore. Per ottenere risultati diversi si possono ovviamente usare valori differenti, ma ciò non verrà trattato qui. La seguente notazione verrà impiegata per la relazione tra corrente e tensione in un diodo:

$i = I_s \left( e^{\frac{v}{V_T}} - 1 \right)$

in cui $V_T \simeq 0.6 V$ è la tensione di soglia e I_s è la corrente che scorre attraverso il diodo se è polarizzato inversamente. Analizzando il circuito senza introdurre alcuna approssimazione si ottiene:

$v_a = - \left[ - V_T \ln \left( \frac{v_1}{R I_s} + 1 \right) - V_T \ln \left( \frac{v_2}{R I_s} + 1 \right) \right] = V_T \ln \left[ \left( \frac{v_1}{R I_s} + 1 \right) \left( \frac{v_2}{R I_s} + 1 \right) \right]$

cosicché l'uscita finale è:

$v_b = - R I_s \left( e^{\frac{v_a}{V_T}} - 1 \right) = - \frac{v_1 \cdot v_2}{R I_s} - (v_1 + v_2)$

come è chiaro, nell'uscita c'è la moltiplicazione che cerchiamo, ma cè anche un altro termine che non si vuole. Non può venire considerato semplicemente un errore poiché può essere grande quanto l'elemento moltiplicativo, sicché deve venire rimosso. In ogni caso, questo è un compito facile dato che è necessario soltanto aggiungere un ulteriore stadio per sommare esattamente $v_1 + v_2$, e non avere così nessun errore. Il circuito moltiplicatore completo è il seguente:

in cui la tensione d'uscita è data da:

$v_{out} = - \left( - \frac{v_1 \cdot v_2}{R I_s} - (v_1 + v_2) + (v_1 + v_2) \right) = \frac{v_1 \cdot v_2}{R I_s}$

che è esattamente ciò che si voleva. Il circuito funziona finché la seguente relazione è soddisfatta:

$v_1 , v_2 > - R I_s$,

perciò gli ingressi possono essere zero o leggerkente negativi ma, dato che $R I_s$ vuole essere una tensione molto piccola, ci è concesso di riscrivere la relazione semplicemente come $v_1 , v_2 \geq 0$. Dal punto di vista matematico ciò è dovuto dal fatto che non si può calcolare il logaritmo di un numero negativo, mentre dal punto di vista fisico il limite è dovuto al fatto che è possibile ottenere solamentre delle correnti molto piccole polarizzando i diodi in senso inverso.

Nele applicazioni pratiche, i diodi sono sostituiti dai BJT così collegati da funzionare da diodi.

$v_{out} = \frac{R_2}{R_1} \frac{v_1 v_2}{V_{ref}}; \qquad V_{ref}, v_1, v_2 > 0$

Configurazione a MOS

Giacché è possibile usare un transistore MOSFET come resistore controllato da una tensione, quando questo viene fatto lavorare nella propria regione ohmica, questa caratteristica può essere usata per creare un moltiplicatore analogico. Riferiamoci alla figura alla destra. Indichiamo con le lettere i differenti piedini: Drain (pozzo), Source (sorgente) e Gate (porta). I transistori MOS sono dispositivi simmetrici, quindi possiamo sostituire il Drain alla Source senza influire sul comportamento del dispositivo. Comunque, chiamiamo Source il terminale a tensione più bassa e Drain il terminale con tensione maggiore.

Quando la tensione fra Gate e Source è più alta della tensione di soglia, cioè $V_{GS} > V_T$, e la tensione Drain-Source è piccola, cioè $V_{DS} < V_{GS} -V_T$, il dispositivo è in posizione ohmica, e la relazione fra corrente e tensione è la seguente:

$I_{DS} = K [2 (V_{GS} - V_T) V_{DS} - V_{DS}^2] \simeq 2 K (V_{GS} - V_T) V_{DS}$.

Purché si possa usare sempre questa relazione , la configurazione del moltiplicatore analogico è la seguente:

in cui il Source e il Drain di entrambi i dispositivi sono mostrati. Se $v_2$ and $V_{ref}$ sono positivi, allora i Source rimarranno a potenziale nullo, poiché sono in contatto con la terra virtuale degli operazionali. La corrente che scorre attraverso $R_1$ è definta in questo modo: un lato del resistore ha la tensione $v_1$, l'altro è messo a terra. La medesima corrente scorrerà attraverso il MOS $M_2$ (perché l'amplificatore operazionale ha resistenza di ingresso infinita), definendo così la tensione $V_G$. Osserviamo che $V_{DS2} = V_{ref}$ e $V_{DS1} = v_{2}$.

La corrente è data da:

$\frac{v_1}{R_1} = - I_{DS2} = - 2 K (V_{GS} - V_{T}) V_{ref}$

Sostituendo e calcolando otteniamo:

$V_G = V_{T} - \frac{v_1}{2 K R_1 V_{ref}}$.

Considerando l'altro MOS $M_1$ abbiamo:

$\; I_{DS1} = 2 K (V_{GS} - V_{T}) v_{2} = - \frac{v_{out}}{R_2}$

Da tutto questo otteniamo finalmente la tensione d'uscita:

$v_{out} = \frac{R_2}{R_1} \frac{v_1 v_2}{V_{ref}}; \qquad V_{ref}, v_1, v_2 > 0$

e ciò è quello che si voleva. Le differenze tra le precedenti configurazioni sono:

• l'attuazione con MOS è più semplice e richiede meno dispositivi
• nei calcoli per la configurazione a diodi non abbiamo introdotto alcuna approssimazione, mentre lo abbiamo fatto nella configurazione MOS.

In altre parole, la realizzazione a diodi è più complicata ma opera meglio per una escursione maggiore di ingressi.