Elettronica pratica/RCL

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[modifica] Circuito RCL

Il cicuito RCL consiste di un resistore R, di un condensatore C e di un induttore L. I cicruiti RCL possono venire caratterizzati sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza.

File:LCR diagram.png

[modifica] Analisi del circuito RLC nel dominio del tempo

Quando l'interruttore viene chiuso si applica una tensione a gradino al circuito. Poniamo uguale a 0 il tempo in cui l'interruttore è stato chiuso, cosicché la tensione prima che l'interruttore sia chiuso è 0 volt e la tensione dopo la sua chiusura è di V volt. La tensione ai capi del condensatore consiste di una risposta forzata vf e di una risposta naturale vn talché:

\ v_c=v_f+v_n

La risposta forzata è dovuta alla chiusura dell'interruttore, che è la tensione V a t\ge0. La tensione naturale dipende dai valori

del circuito ed è data qui di seguito.

Definiamo la frequenza polare

\ \omega_n={1\over\sqrt{LC}}

ed il fattore di smorzamento

\ \alpha={R\over 2L}

Dipendendo dai valori di α e ωn il sistema può essere caratterizzato come:

  1. Se α > ωn il sistema è sovrasmorzato. La soluzione ha la forma:
    \ v_n(t)=A_1e^{\big(-\alpha+\sqrt{\alpha^2-\omega_n^2}\big)t}+A_2e^{\big(-\alpha-\sqrt{\alpha^2-\omega_n^2}\big)t}
  2. Se α = ωn il sistema è a smorzamento critico. La soluzione del sistema ha la forma:
    \ v_n(t)=Be^{-\alpha t}
  3. Se α < ωn il sostema è sottosmorzato. La soluzione del sistema ha la forma:
    \ v_n(t)=e^{-\alpha t}\big[B_1\cos(\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2} t)+B_2\sin(\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2} t)\big]

[modifica] Analisi del circuito RLC nel dominio delle frequenze

Definiamo la frequenza di polo ωn e il fattore di smorzamento α come:

{R\over L}=2\alpha
{1\over LC}= \omega_n^2

Per analizzare il circuito prima calcoliamo la funzione di trasferimento H(s) nel dominio del campo complesso. Per il circuito RCL della figura 1 si ha:

H(s)=\frac{s\big(s+2\alpha\big)}{s^2+2\alpha s+\omega_n^2}

H(s)=\frac{s\big(s+2\alpha\big)}{\big(s+\alpha+j\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}\big)\big(s+\alpha-j\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}\big)}

Quando si chiude l'interruttore, si applica una forma d'onda a gradino al circuito RLC.Il gradino è dato da Vu(t). Dove V è la tensione del gradino e u(t) è la funzione a gradino unitario. L'uscita è data dalla convoluzione della risposta d'impulso h(t) e della funzione a gradino Vu(t). Pertanto l'uscita è data dalla moltiplicazione H(s)U(s) nel dominio del campo complesso, dove \ U(s)=V{1\over s}è data dalla trasformata di Laplace disponibile nell'appendice.

La convoluzione di u(t) e h(t)è data da:

H(s)U(s)=\frac{V\big(s+2\alpha\big)}{\big(s+\alpha+j\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}\big)\big(s+\alpha-j\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}\big)}

Dipendendo dai valori di α e ωn il sistema può essere caratterizzato come:

3. Se α < ωn, il sistema è sottosmorzato. La soluzione di h(t)u(t) è data da:

\ h(t)u(t)=Ve^{-\alpha t}\big(\cos(\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}t)+\frac{\alpha}{\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2}}\sin(\sqrt{\omega_n^2-\alpha^2})\big).

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