Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica

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Esercizi[modifica]

1. Forza elettrica e gravitazionale[modifica]

Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica F_e\ tra un protone ed un elettrone e l'attrazione gravitazionale F_g\ .

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2. Quattro cariche eguali[modifica]

Quattro cariche eguali Q\ sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato l\ (piano xy\ ). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza l\ (cioè sull'asse z\ nel punto (0,0,l)\ se l'origine è al centro del quadrato).

(dati del problema Q=6\ \mu C, l=1\ m)


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3. Tre cariche eguali[modifica]

Triangolo equilatero con assi.png

Tre cariche eguali q\ praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato l\ . Quale carica q_o\ va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?

(dati del problema q=0.1\ \mu C)


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4. Due sbarrette perpendicolari[modifica]

Due sbarrette perpendicolari.png

Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe l\ , sono disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta d\ la distanza del punto P\ dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna sbarretta è distribuita uniformemente una carica q\ . Determinare l'intensita' del campo elettrico in P\ .

(dati del problema l=1\ m, q=5\ nC, d=0.1\ m)

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5. Dipoli differenza di potenziale[modifica]

Un dipolo: due cariche q\ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza d\ . Determinare la differenza di potenziale (rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a distanza 3d\ , la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di \theta\ con la congiungente delle cariche stesse.

(dati del problema q=5\ nC, d=3\ cm, \theta= 20^o\ )

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6. Un disco uniformemente carico[modifica]

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un disco di raggio R\ posto nel vuoto su cui è distribuita uniformente una carica Q\ .

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7. Otto cariche eguali[modifica]

Otto cariche eguali Q\ sono disposte sui vertici di un cubo di lato a\ . Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo. Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle coordinate a distanza \alpha a\ dall'origine, confrontando tale valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per \alpha\ generico.

(dati del problema: a=1\ cm, Q=1\ nC, \alpha=3\ )

1.

E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}
E_e\approx \frac {3q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^3}
E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^3}
E_e\approx \frac {3q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}

Il tuo punteggio è 0 / 0


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8. Quattro cariche di segno opposto[modifica]

Sui vertici di un quadrato di lato l\ sono disposte delle cariche eguali in modulo Q\ , ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.

(dati del problema Q=6\ mC, l=1\ m)

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9. Un dipolo[modifica]

Un dipolo: due cariche q\ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza d\ . Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una distanza 2d\ dal loro centro, in un punto la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di \theta\ con la congiungente delle cariche stesse.

(dati del problema q=1\ nC, d=1\ cm, \theta= 45^o\ )


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10. Una spira circolare carica[modifica]

Spira carica.png

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio R\ posta nel vuoto in cui è distribuita uniformente una carica Q\ . Discutere i casi limite: x\rightarrow 0\ e x>>R\

1.

E_x(x>>R)=\frac {Q}{2\pi \varepsilon_o}\frac {1}{x^2}
E_x(x>>R)=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {1}{x^4}
E_x(x>>R)=\frac {Q}{2\pi \varepsilon_o}\frac {1}{x^3}
E_x(x>>R)=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {1}{x^2}

Il tuo punteggio è 0 / 0


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11. Un semplice quadrupolo[modifica]

A simple quadrupole.png

Sui vertici di un quadrato di lato l\ sono disposte delle cariche eguali in modulo q\ , ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.

Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x\ , ed in particolare calcolarne il valore per x=0,l,10l\ .

(dati del problema q=4\ \mu C\ , l=10\ cm\ )

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12. Una sbarretta sottile isolante[modifica]

Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza l\ . Su di essa è distribuita uniformente una carica q\ . Assunto un riferimento cartesiano con asse x\ coincidente con la direzione della sbarretta e origine nel suo centro. Trovare per quali d\ sono di pari intensità i campi elettrici in (d,0) e (0,d) a meno dell'1\%. (dati del problema l=1\ m, q=5\ nC)

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13. Tre particelle cariche[modifica]

Trecaricheallineate.png

Tre particelle cariche sono poste come in figura, separate da una distanza d\ . Le cariche q_1\ e q_2\ sono tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica q_3\ soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio. Si determini il valore di q_1\ e la forza elettrica che agisce sulla carica 1\ .

(dati del problema q_2=1\ nC, q_3=2\ nC, d=1\ cm)

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14. Anello carico[modifica]

Su un anello di raggio R\ è distribuita uniformemente la carica q\ . Una particella di carica -q\ viene posta con velocità nulla a distanza R\ dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine (immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).

(dati del problema q=10^{-6}\ C, R=10\ cm, m=1\ g )


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15. Due dipoli[modifica]

Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza z\ . a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?

(dati del problema |p|=10^{-10}\ Cm\ , z=1\ cm\ )


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16. Piano con foro[modifica]

Piano con foro.png

Una particella dotata di carica q\ e massa m\ si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme \sigma\ in cui è praticato un foro circolare di raggio R\ e centro C\ .

1) Si calcoli l'altezza h_o\ rispetto a C\ del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.

2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza h_o/2\ rispetto a C\ , osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?

(Dati del problema: q=1\ nC, m=1\ mg, \sigma=1\ \mu C/m^2, R=1 \ m. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)

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17. Due sbarre allineate[modifica]

Sbarre orizzontali.png

Due sbarrette sottili di lunghezza l\ sono cariche uniformemente con una carica  -q\ e q\ come mostrato in figura. Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle x\ con i loro centri distanti a\ .

Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto 10a\ (sull'asse delle x\ ). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo equivalente).

(Dati del problema l=5\ cm\ , q=10\ nC\ , a=20\ cm\ )


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18. Anello con distribuzione dipolare[modifica]

Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio R\ , ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:

\lambda=A\sin \theta\

dove \theta\ è l'angolo con l'asse delle x\ per cui la carica è positiva per y>0\ e negativa per y<0\ . Determinare 1) la carica totale di mezzo anello per y>0\ ; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse z\ ed in particolare per z=R\ ; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .

(dati del problema R=1\ cm\ , A=10^{-9}\ C/m\ )


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19. Piano tagliato[modifica]

Pianotagliato.png

Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme \sigma\ ha uno stretto taglio di dimensioni d\ . Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da D\ (d\ll D\ ).

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20. Goccia d'olio[modifica]

Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Qo e sulla sua superficie un campo elettrico pari a Eo. Determinare a) il raggio Ro della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).

(dati del problema Q_o=1\ nC, E_o=10^6\ V/m)


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21. Tre cariche sui vertici di un quadrato[modifica]

Tre cariche.png

Su tre vertici di un quadrato di lato a\ sono fissate rispettivamente due cariche positive q\ ed una negativa -2q\ come mostrato in figura. Sul quarto spigolo P_1\ viene posta una carica q_1\ , di massa m_1\ con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica q_1\ nel punto P_1\ e b) la velocità con cui arriva nel punto P_2\ (sulla continuazione della diagonale del quadrato).

(Dati del problema: q=1\ nC\ , a=1\ mm\ , q_1=1\ pC\ , m_1=10^{-10}\ kg\ )

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22. Due cariche sui vertici di un triangolo[modifica]

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza a\ . Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme Q_1\ , mentre all'estremità opposta è posta una carica Q_2\ di valore variabile pari a Q_2=\alpha Q_1\ . Determinare sul vertice P\ opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di \alpha\ per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.

(Dati del problema: Q_1=1\ \mu C\ , l=1\ m\ , -1\le \alpha \le 1\ )

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Soluzioni[modifica]

1. Forza elettrica e gravitazionale[modifica]

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L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere espressa come:

F_g=G\ \frac{m_{p\ }m_e}{r^2}\

Con m_p\ abbiamo indicato la massa del protone,

m_p=1.672623\cdot 10^{-27}\ kg

G=6.7\cdot 10^{-11}\ Nm^2/kg^2

mentre con m_e\ indichiamo la massa dell'elettrone,

m_e=9.109389\cdot 10^{-31}\ kg\

L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:

F_e=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\ \frac{e^2}{r^2}\

Con e\ abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica dell'elettrone,

e=1.60217733\cdot 10^{-19}\ C

Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:


R =\frac{F_e}{F_g}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\ \frac{e^2}{G\ 
m_pm_e}= 
\frac{9\cdot 10^9\cdot \left( 1.6\cdot 10^{-19}\right) ^2}{6.7\cdot
10^{-11}\cdot \left( 1.67\cdot 10^{-27}\right) \cdot \left( 9.1\cdot
10^{-31}\right) }\approx 2\cdot 10^{39}

2. Quattro cariche eguali[modifica]

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La distanza di ogni carica dal punto dato vale:

r=\sqrt{l^2/2+l^2}=l\sqrt {3/2}

Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:

|E|=
\frac {Q}{4\pi \varepsilon _or^2}
=\frac {Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}=3.6\cdot 10^4\ V/m

La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:

E_a=|E|\frac lr=
\frac {Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}\frac lr=
\frac {Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}\sqrt {\frac 23}\

Quindi sommando i 4 contributi:

|E_t|=\frac {4Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}\sqrt {\frac 23}=1.17\cdot 10^5\ V/m

3. Tre cariche eguali[modifica]

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Se definiamo 1\ e 2\ le cariche in basso e 3\ quella in alto disponendole come in figura. Detto l\ il lato del triangolo:

|F_{13}|=|F_{23}|=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}\

Le componenti delle due forze nella direzione x\ si annullano a vicenda per cui rimane solo la componente lungo y\ se definisco \theta\ l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del rettangolo. Tale angolo vale 30^o\ . Quindi la componente lungo l'asse y\ di tali forze valgono:

F_{13y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}\cos \theta\

Quindi la forza totale vale:

F_{ty}=2\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}\cos \theta=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}{\sqrt 3}\

Mentre la forza della carica al centro che dista dai vertici: r=
l/{\sqrt 3} è diretta verso la direzione y\ e vale:

F_{0y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_oq}{r^2}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_oq}{(l/{\sqrt 3})^2}\


Affinché la forza totale sia nulla:

\frac {qq_o}{4\pi \epsilon_o (l/\sqrt 3)^2}+\frac {q^2\sqrt 3}{4\pi \epsilon_o l^2}=0\

quindi:

q_o=-q \frac{\sqrt 3}{3}=-58\ nC

4. Due sbarrette perpendicolari[modifica]

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Detto:

\lambda =\frac ql\

Il campo generato dalla prima barretta vale:


E_x=-\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \int_d^{d+l}\frac {\lambda dx}{x^2}=-\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac ql\left[ \frac 1d -\frac 1{d+l}\right]=-\frac
q{4\pi \varepsilon_o d(d+l)}\

Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:

E_y=-\frac q{4\pi \varepsilon_o d(d+l)}\

Quindi l'intensità del campo vale: 
|E|=\frac {q\sqrt 2}{4\pi \varepsilon_o d(d+l)}=578\ V/m


5. Dipoli differenza di potenziale[modifica]

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Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle x\ coincidente con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:

x_1=3d\cos \theta=0.085\ m

y_1=3d\sin \theta=0.031\ m

Quindi il punto dista dalla carica positiva:

d_1=\sqrt{(x_1-d/2)^2+y_1^2}=0.076\ m

e da quella negativa:

d_2=\sqrt{(x_1+d/2)^2+y_1^2}=0.104\ m

Il potenziale esatto vale:

V_e=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\left( \frac 1{d_1}-\frac 1{d_2}\right)=160\ V

Mentre quello approssimato vale:

V_a=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {qd3d\cos \theta}{(3d)^3}=156\ V


6. Un disco uniformemente carico[modifica]

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La densità di carica superficiale vale: \sigma=\frac Q{\pi R^2}\

Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica in cui una spira di raggio r\ e con carica Q\ distribuita uniformemente sull'anello \lambda =Q/2\pi r\ , generava un campo su un punto generico dell'asse:

E_x=\frac {\lambda  R}{2 \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}=
\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}

Se consideriamo i differenziali equivalenti:

dE_x\ invece di E_x\ .

e dQ=\sigma 2\pi rdr=(2Qrdr)/(R^2)\ invece di Q\ .

Si ha che:

dE_x=\frac {Q2rdr }{4\pi R^2\varepsilon_o }
\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}\

Quindi:

E_x=
\frac {Q x}{4\pi R^2\varepsilon_o }\int_0^R\frac {2rdr}{(x^2+r^2)^{3/2}}=
\frac {Q x}{4\pi R^2\varepsilon_o }\left[\frac {-2}{(r^2+x^2)^{1/2}}\right]_0^R=
\frac {Q }{2\pi R^2\varepsilon_o }\left[1-\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\right]\

Se x\ll R\ il termine \frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\ è trascurabile e quindi:

E_x\approx \frac {2Q }{4\pi R^2\varepsilon_o }=\frac {\sigma}{2 \varepsilon_o }\

Mentre se x\gg R\ si può approssimare E_x\ facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:

 \left[1-\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\right]\approx \frac {R^2}{2x^2}\

quindi quando x\ll R si ha che lungo l'asse il campo vale:

E_x=\frac Q{4\pi x^2\varepsilon_o }

come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.


7. Otto cariche eguali[modifica]

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La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:

d_1=\sqrt{(a\alpha -a/2)^2+a^2/2}=0.0255\ m

L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti è quella lungo l'asse delle x\ quindi essendo il coseno dell'angolo formato con l'asse delle x\ :

\cos \theta_1=\frac {\alpha a-a/2}{\sqrt{(a\alpha
-a/2)^2+a^2/2}}=0.962

Analogamente per le cariche lontane:

d_2=\sqrt{(a\alpha +a/2)^2+a^2/2}=0.035\ m


\cos \theta_2=\frac {\alpha a+a/2}{\sqrt{(a\alpha
+a/2)^2+a^2/2}}=0.98

Quindi il valore del campo esatto, nella sola direzione x\ , vale: E_e=\frac q{\pi \varepsilon_o }\left( \frac {\cos \theta_1}{d_1^2}+\frac {\cos
\theta_2}{d_2^2} \right)=7.89\cdot 10^4\ V/m

Mentre quello approssimato vale:

E_a=\frac {2q}{\pi \varepsilon_o(\alpha a)^2}=8\cdot 10^4\ V/m

La formula generale vale: 
E_e=\frac {q}{\pi \varepsilon_o a^2}\left\{ \frac {\alpha-1/2}{[(\alpha
-1/2)^2+1/4]^{3/2}}+\frac {\alpha+1/2}{[(\alpha +1/2)^2+1/4]^{3/2}}
\right\}

che per \alpha\ grande diventa:

E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}

8. Quattro cariche di segno opposto[modifica]

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Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:

|F_1|=\frac {Q^2}{4\pi l^2}=3.27\ 10^5\ N

Quindi in totale, essendo a 90^o\ una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:

|F_a|=\frac {Q^2}{4\pi l^2}\sqrt{2}=4.57\ 10^5\ N

La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:

|F_r|=\frac {Q^2}{4\pi l^22}=1.62\ 10^5\ N

Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:

|F_t|=|F_a|-|F_r|=2.96\ 10^5\ N


9. Un dipolo[modifica]

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Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro congiungente come asse delle x\ , mentre la perpendicolare sul piano è l'asse delle y\ : -q\ è in (-d/2,0,0)\ , +q\ è in (d/2,0,0)\ , mentre il punto è in (\sqrt 2 d,\sqrt 2d,0\ ). Quindi la distanza dalla carica positiva vale:

|r_-|=2.4d\

Mentre da quella negativa:

|r_+|=1.7d\

Il campo esatto vale:

E_x=
\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac q{d^2}0.049\

E_y=
\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac q{d^2}0.191\

|E|=0.19753\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac q{d^2}

Mentre quello approssimato:

p=(qd,0,0)\

r=(\sqrt 2 d,\sqrt 2d,0)\

Quindi: 
E_x=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q}{d^2}0.0625\


E_y=0.187\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q}{d^2}\

per cui:

|E|=0.19764\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac q{d^2}\

Quindi il rapporto vale:


R=0.9994\


10. Una spira circolare carica[modifica]

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La densità di carica vale:

\lambda=\frac Q{2\pi R}\

Assunta come origine il centro della spira e asse delle x\ l'asse della spira. Il campo elettrico generato dal generico elementino \vec {dl}\ di circonferenza vale in modulo:

|dE|=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda dl}{r^2}\

Dove:

r^2=R^2+x^2\

Interessa calcolare solo la componente dE_x\ di \vec {dE}\ . Infatti per ogni elemento \vec {dl}\ esiste una altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse x\ uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.

dE_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda dl}{r^2}\cos \vartheta\

Detto \vartheta\ l'angolo formato dalla congiungente l'elementino dl\ con il punto sull'asse e l'asse delle x\ . Integrando su dl\ lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato x\ , sia R\ , che \vartheta\ sono costanti:


E_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda }{r^2}\cos \vartheta\int dl=\frac {2\pi R}{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda }{r^2}\cos \vartheta

Geometricamente è facile mostrare che:

\cos \vartheta=\frac x{\sqrt {R^2+x^2}}\

Quindi:

E_x=\frac {\lambda  R}{2 \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+R^2)^{3/2}}\

Essendo:

\lambda=\frac Q{2\pi R}\


E_x=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+R^2)^{3/2}}\

Tale campo vale per x=0\ :

E_x(x=0)=0\

Inoltre:

E_x(x>>R)=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {1}{x^2}

11. Un semplice quadrupolo[modifica]

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Solo la componente y\ del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti (rispetto un punto sull'asse delle x\ positivo) generano un campo:

E_{1y}=-\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon_o \left[ (x+l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}\

mentre le più vicine:

E_{1y}=+\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon_o\left[ (x-l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}\

Quindi in totale:

E_y=\frac {ql}{4\pi \varepsilon_o} \left\{ \frac 1{\left[(x-l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}- \frac 1{\left[(x+l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}\right\}\

Ovviamente tale funzione vale 0\ per x=0\ , mentre per gli altri due casi:

E_y(x=l)=9.3\ MV/m\
E_y(x=10l)=1.08\ kV/m\

A grande distanza si comporta come un quadrupolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.


12. Una sbarretta sottile isolante[modifica]

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a) Detto :

\lambda =\frac ql\

Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:


E_x =\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\int_{-l/2}^{l/2}\frac{\lambda dx}{\left(
d-x\right) ^2}=\frac \lambda {4\pi \varepsilon _o}\left[ \frac
1{d+l/2}-\frac 1{d-l/2}\right] =\frac{\lambda l}{4\pi \varepsilon
_o(d^2-l^2/4)}

Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo diretto secondo l'asse delle y, per cui:


E_y =\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\int_{-l/2}^{l/2}\frac{\lambda dx}{\left(
x^2+d^2\right) }\frac d{\sqrt{x^2+d^2}}=\frac{\lambda d}{4\pi \varepsilon _o}
\left[ \frac x{d^2\sqrt{x^2+d^2}}\right] _{-l/2}^{l/2}=\frac{\lambda l}{4\pi
\varepsilon _od\sqrt{l^2/4+d^2}}

Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo sia inferiore al valore in (d,0).

A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:

\frac{\lambda l}{4\pi \varepsilon _od^2}\

Quindi imponendo che:

\frac q{4\pi \varepsilon _o(d^2-l^2/4)} =1.01\frac q{4\pi \varepsilon
_od\sqrt{l^2/4+d^2}}\

\frac 1{d^2-l^2/4} =\frac{1.01}{d\sqrt{l^2/4+d^2}}\

Segue che la condizione viene realizzata se:

d\geq 6.14\ m

13. Tre particelle cariche[modifica]

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Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore. Perché la forza elettrica che agisce sulla carica 3\ sia nulla occorre che:

f_{31}+f_{32}=0\

Quindi essendo:

f_{31}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_1q_3}{(2d)^2}\
f_{32}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_2q_3}{(d)^2}\

Occorre che:

 \frac {q_1}{(2d)^2}=-\frac {q_2}{d^2}\
q_1=-4q_2=-4\ nC\

La forza elettrica che agisce sulla carica 1\ vale (diretta da sinistra a destra):

f_{13}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_1q_3}{(2d)^2}=0.18\ mN\

Mentre quella dovuta alla carica 2\ vale (diretta da sinistra a destra):

f_{12}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_1q_2}{d^2}=0.36\ mN\

In totale quindi:

f_1=f_{13}+f_{21}=0.54\ mN

14. Anello carico[modifica]

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La densità di carica vale:

\lambda=\frac Q{2\pi R}\

Assunta come origine il centro della spira ed asse delle x\ l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza x\ dal centro della spira vale:

V(x)=\frac 1{4\pi \varepsilon _o} \int_0^{2\pi R} \frac {\lambda dl}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o} \frac q{\sqrt{R^2+x^2}}\

Quindi:

V(0)=\frac q{4\pi \varepsilon _oR}\

V(R)=\frac q{4\pi \varepsilon _oR\sqrt{2}}\

Quindi:

E_c=-q\left[ V(R)-V(0)\right] =\frac{q^2}{4\pi \varepsilon _oR}\left[
1-\frac 1{\sqrt{2}}\right]=0.026\ J

v=\sqrt {\frac {2E_c}m}=7.2\ m/s\

15. Due dipoli[modifica]

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Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse z\ diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:

E_z=\frac p{2\pi \varepsilon_o z^3}\

Quindi la derivata:

\frac {\partial E_z}{\partial z}=-\frac {3p}{2\pi \varepsilon_o z^4}\

F_z=-\frac {3p^2}{2\pi \varepsilon_o z^4}=0.054\ N

Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.

Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:

|M|=\frac {p^2}{2\pi \varepsilon_o x^3}=1.8\cdot 10^{-4}\ Nm\

16. Piano con foro[modifica]

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Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come z\ , l'asse verticale:

E_z=\frac {\sigma }{2 \epsilon_0}\

Mentre, per quanto riguarda un disco di carica -\sigma\ :

E_z=-\frac {\sigma }{2 \epsilon_0}\left[1-\frac z{\sqrt{R^2+z^2}}\right]\

Quindi in totale:

E_z=\frac {\sigma z }{2 \epsilon_0\sqrt{R^2+z^2}} \

La condizione di equilibrio è:

qE_z-mg=0\

Da cui si ricava:

h_o=\frac R{\sqrt{(q\sigma /2\epsilon_0mg)^2-1}}\approx 17.6\ cm

la differenza di potenziale tra 0\ e h_o/2\ vale:

V(h_0/2)-V(0)= -\int_0^{h_0/2}E(z)dz=-\frac {\sigma}{2 \epsilon_0}\left[\sqrt{z^2+R^2}\right]_0^{h_0/2}=\frac {\sigma}{2 \epsilon_0}\left( R-\sqrt{(h_0/2)^2+R^2} \right)\

Agendo solo forze conservative si ha:

\frac 12 mv^2=q[V(h_0/2)-V(0)]+mg\frac {h_o}2\

Quindi:

v=\sqrt{\frac 2m}\sqrt {q[V(h_0/2)-V(0)]+ mgh_o/2}=1.12\ m/s


17. Due sbarre allineate[modifica]

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Detto: \lambda =\frac ql\

Se chiamiamo r\ la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle x\ al centro vale:

Quindi genera al centro in totale:

E_x(x=0)=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}\frac { dr}{r^2}=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[-\frac 1r \right]_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}=-\frac {\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\left[\frac {1}{a-l}-\frac {1}{a+l}\right]\

Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:

E_{xt}(x=0)=-\frac {\lambda}{\pi \epsilon_0 }\left[\frac 1{a-l}-\frac 1{a+l}\right]=-19\ kV/m\

In un punto generico dell'asse delle x per x>a/2+l/2\ : La prima sbarretta genera un campo:

E_x^-(x)=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}\frac { dr}{(r-x)^2}\

Facendo un cambiamento di variabile:

E_x^-(x)=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{-x-a/2-l/2}^{-x-a/2+l/2}\frac {dy}{y^2}=
-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[-\frac 1y \right]_{-x-a/2-l/2}^{-x-a/2+l/2}=\

E_x^-(10a)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[\frac 1{-10a-a/2+l/2}-\frac 1{-10a-a/2-l/2}\right]=-19.18\ V/m\

Analogamente per l'altra sbarretta:

E_x^+(x)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{a/2-l/2}^{a/2+l/2}\frac { dr}{(r-x)^2}\

Facendo un cambiamento di variabile:

E_x^+(x)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{-x+a/2-l/2}^{-x+a/2+l/2}\frac {dy}{y^2}=
\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[-\frac 1y \right]_{-x+a/2-l/2}^{-x+a/2+l/2}=\

E_x^+(10a)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[\frac 1{-10a+a/2-l/2}-\frac 1{-10a+a/2+l/2}\right]=24.91\ V/m\

In totale quindi:

E_{xt}(x=10a)=E_x^-(10a)+E_x^+(10a)=4.52\ V/m\

Mentre il dipolo equivalente vale:

p=qa\

Quindi il campo generato vale:

E_x\approx \frac {qa}{2\pi \epsilon_0 (10a)^3}=4.49\ V/m\

Praticamente eguale al valore approssimato.


18. Anello con distribuzione dipolare[modifica]

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La carica per y>0\ è quella che si ha se 0\le \theta \le \pi\ :

q^+=\int_0^{\pi} \lambda dl\

Ma dl=Rd\theta \ e \lambda=A\sin \theta\ quindi:

q^+=RA\int_0^{\pi} \sin \theta d\theta=RA\left[ -\cos \theta \right]_0^{\pi}=2RA=20\ pC\

Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:

|dE|=\frac {\lambda dl}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)}=\frac {AR\sin \theta d\theta}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)}\

dE_z=|dE|\frac z{(R^2+z^2)^{1/2}}=\frac {ARz}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\sin \theta d\theta\

E_z=\int_0^{2\pi}dE_z=\frac {ARz}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin \theta d\theta=0\

dE_x=|dE|\frac R{(R^2+z^2)^{1/2}}\cos \theta d\theta\

E_x=\frac {AR^2}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin \theta \cos \theta d\theta=0\

dE_y=-|dE|\frac R{(R^2+z^2)^{3/2}}\sin \theta d\theta\

E_y=-\frac {AR^2}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin^2 \theta  d\theta=
-\frac {AR^2}{4 \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\

Quindi nel caso di z=R\ :

E_y=-\frac {A}{4\varepsilon_o R2^{3/2}}\approx 1000\ V/m\

mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle x\ , che distano 2R\sin \theta\ con una carica dq=RA\sin \theta d\theta\ :

dp_y=RA\sin \theta d\theta 2R\sin \theta= 2R^2A \sin^2 \theta d\theta\

Ed integrare su metà della circonferenza:

p_y=2R^2A\int_0^{\pi}\sin^2 \theta d\theta=R^2A\pi=3.14\cdot 10^{-13}\ Cm\

Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:

\int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta=\frac {\pi}2\

Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando E_y\ a grande distanza sull'asse.

19. Piano tagliato[modifica]

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Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità \sigma\ ed una striscia carica con densità -\sigma\ . Per quanto riguarda il piano, assunto come z\ , l'asse verticale:

E_z=\frac {\sigma }{2 \varepsilon_o}\

Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza d\ e densità di carica -\sigma\ , è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza \sqrt{x^2+D^2}\ , per ciascuno dei quali:

|dE|=\frac {\sigma dx}{2\pi \varepsilon_o\sqrt{x^2+D^2}}\

La componente lungo l'asse delle z\ di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:

dE_z=\frac {\sigma Ddx}{2\pi \varepsilon_o(x^2+D^2)}\

E_z=\frac {\sigma D}{2\pi \varepsilon_o}\int_{-d/2}^{d/2}\frac {dx}{x^2+D^2}=\frac {2\sigma D}{2\pi \varepsilon_o D}\arctan (d/2D)\

Se d\ll D\ :

E_z\approx \frac {\sigma d}{\pi \varepsilon_o 2D}\

Quindi in totale:

E_z\approx \frac {\sigma }{\varepsilon_o}[1-d/(2\pi D)]\


20. Goccia d'olio[modifica]

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Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio r, avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:

E(r)=\frac {Q_r}{4\pi \varepsilon_o r^2}

con Qr pari alla carica contenuta all'interno della sfera.

a)

Quindi, sulla superficie della goccia, vale:

E_0=\frac {Q_o}{4\pi \varepsilon_oR_o^2}

R_0=\sqrt{\frac {Q_o}{4\pi \varepsilon_oE_0}}=0.003\ m

b)

Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto

\rho = \frac {Q_r}{v_r} = \frac {Q_o}{v_o}

per ogni r > 0, indicando con vr il volume della sfera di raggio r e con vo il volume della goccia d'olio.

Q_r = \frac {Q_ov_r}{v_o} = \frac {Q_or^3}{R_o^3}

La differenza di potenziale vale:

\Delta V=-\int_0^{R_o}E(r)dr = -\int_0^{R_o}\frac{Q_r}{\varepsilon_o 4 \pi r^2}dr=\int_0^{R_o}\frac {Q_o r}{4\pi \varepsilon_o R_o^3}dr=-\frac {Q_o}{8\pi \varepsilon_oR_o}=-1.5\ kV

c)

Quindi la densità di carica vale:

\rho=8.85\cdot 10^{-3}\ C/m^3

Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con 0<r<R_0\ , il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:

V(r)=Q(r)/(4\pi \varepsilon_or)\

con Q(r)=\rho 4/3\pi r^3\ , quindi:

V(r)=\rho r^2/(3 \varepsilon_o)\

Se aggiungiamo una carica dq\ :

dq=\rho 4\pi r^2 dr\

L'energia necessaria sarà:

dU=dqV(r)=\frac {\rho^2 4 \pi r^4}{3 \varepsilon_o}dr\

U_0=\int_0^{R_0}\frac {\rho^2 4 \pi r^4}{3 \varepsilon_o}dr=\frac {\rho^2 4 \pi R_0^5}{15 \varepsilon_o}=
\frac {3Q_0^2}{20\pi \varepsilon_o R_0}=1.8\cdot 10^{-6}\ J

Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:

2 R_1^3=R_0^3

R_1=R_0/\sqrt[3]2=0.0021\ m

U_f=2\frac {3(Q_0/2)^2}{20\pi \varepsilon_o R_1}=\frac {3(Q_0)^2}{40\pi \varepsilon_o R_1}=1.3\cdot 10^{-6}\ J

21. Tre cariche sui vertici di un quadrato[modifica]

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a) Il campo elettrico generato nel punto P_1\ dalla carica -2q\ è diretto secondo la diagonale e vale:

E_{1d}=\frac {-2q}{4\pi \varepsilon_o a^22}\

quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:

|E_2|=\frac {q}{4\pi \varepsilon_o a^2}\

Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale (opposta a quella della carica -2q\ )

E_{2d}=\frac {2q}{4\pi \varepsilon_o a^2\sqrt 2}\

Quindi in totale:

E_d=\frac {q}{4\pi \varepsilon_o a^2}(\sqrt 2-1)=3.7\cdot 10^6\ V/m\

Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:

a_1=\frac {qq_1}{4\pi \varepsilon_o a^2 m_1}(\sqrt 2-1)=3.7\cdot 10^4\ m/s^2\

b) Il potenziale nel punto P_1\ (rispetto all'infinito) vale :

V_1=\frac {-2q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt 2a}+\frac {2q}{4\pi \varepsilon_o a}=
\frac {q}{2\pi \varepsilon_o a}(1-\frac 1{\sqrt{2}})\

(il primo termine dovuto alla cariche q\ , l'altro dovuto alla carica -2q\ ) Il potenziale nel punto P_2\ (rispetto all'infinito) vale :

V_2=\frac {-2q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt 22a}+\frac {2q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt 5 a}=
\frac {q}{2\pi \varepsilon_o a}(\frac 1{\sqrt 5}-\frac 1{2\sqrt 2})\

Quindi la differenza di potenziale tra V_1\ e V_2\

vale:

\Delta V=V_1-V_2=\frac {q}{2\pi \varepsilon_o a}(1-\frac 1{\sqrt{2}}-\frac 1{\sqrt 5}+\frac 1{2\sqrt 2})=3580\ V\

Quindi:

\frac 12m_1v_2^2=q_1\Delta V\

v_1=8.5\ m/s\

22. Due cariche sui vertici di un triangolo[modifica]

→ Vai alla traccia Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:

E_{x1}=E_{y1}=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2\sqrt{2}}\

mentre quello generato dalla carica 2:

E_{x2}=-E_{y2}=\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o l^2\sqrt{2}}=\frac {\alpha Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2\sqrt{2}}\

Quindi in totale

E_x=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{2}l^2}(1-\alpha)\
E_y=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{2}l^2}(1+\alpha)\

a) E_x\ è massimo quando \alpha =-1\ e vale:

E_x=\frac {Q_1}{2\sqrt 2 \pi \varepsilon_o l^2}=12.7\ kV/m\

mentre E_y=0\ .

b) E_y\ è massimo quando \alpha =1\ e vale

E_y=\frac {Q_1}{2\sqrt 2 \pi \varepsilon_o l^2}=12.7\ kV/m\

mentre E_x=0\ .

c) Il modulo del campo elettrico vale:

|E|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2}\sqrt {1+\alpha^2}\

che è minima quando \alpha=0\ e vale:

|E|=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2}=9\ kV/m\