Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica/Due condensatori con una resistenza

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Nel circuito indicato in figura il condensatore di sinistra ha una capacità $C\$ ed è portato ad una d.d.p di $V_o\$ (mediante un generatore non mostrato in figura in quanto inessenziale). Infine viene collegato attraverso la resistenza $R\$ alla armatura di un altro condensatore inizialmente scarico. Dimostrare che l'energia elettrostatica persa coincide con quella dissipata nella resistenza.

Soluzione

La carica iniziale del primo condensatore vale:

$Q_{10}= CV_o=Q_o\$

Mentre sul secondo:

$Q_{20}=0\$

Nello stato finale la carica si conserva (la positiva sull'armatura superiore la negativa sulle inferiori) in maniera che:

$Q_{1f}+Q_{2f}=Q_o\$

Ma anche la d.d.p. ai capi dei due condensatori deve essere eguale:

$\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{\alpha C}$

Dall'insieme di queste due equazioni risulta che:

$Q_{1f}=\frac {CV_o}{1+\alpha }\$

$Q_{2f}=\frac {\alpha CV_o}{1+\alpha }\$

Ora mentre l'energia elettrostatica iniziale vale:

$E_0=\frac 12CV_o^2\$

quella finale vale:

$E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{\alpha C}=\frac 12 \frac {CV_o^2}{\alpha +1}\$

Quindi la energia elettrostatica è diminuita di:

$E_0-E_f=\frac {\alpha}{\alpha +1}\frac 12CV_o^2\$

Determiniamo ora l'energia dissipata per effetto Joule durante il transitorio, definita la corrente in senso orario, e $Q_1\$ la carica istantanea sulla armatura di sopra del I condensatore, $Q_2\$ quella sulla armatura superiore del II condensatore:

$\frac {Q_1}C+IR-\frac {Q_2}{\alpha C}=0\$

Ma per la conservazione della carica:

$Q_2+Q_1=Q_o\$

$Q_2=Q_o-Q_1\$

Chiaramente la corrente (al limite per $\alpha=\infty\$ deve coincidere con un corto circuito cioè il caso visto nella scarica)

$I=\frac {dQ_1}{dt}\$

Sostituendo:

$\frac {Q_1}C+\frac {dQ_1}{dt}R-\frac {Q_o-Q_1}{\alpha C}=0\$

$\alpha Q_1+\frac {dQ_1}{dt}\alpha C R-Q_o+Q_1=0\$

Separando le variabili:

$\frac {dQ_1}{(\alpha +1)Q_1-Q_o}=-\frac {dt}{\alpha RC}\$

Integrando viene:

$\frac 1{\alpha +1}\ln \frac {(\alpha +1)Q_1-Q_o}{\alpha Q_o}=-\frac t{\alpha RC}\$

$Q_1=\frac {Q_o}{1+\alpha }\left({1+\alpha }e^{-t(\alpha +1)/\alpha RC}\right)$

La sua derivata:

$I=\frac {dQ_1}{dt}=-\frac {Q_o}{RC}e^{-t(\alpha +1)/\alpha RC}\$

L'energia dissipata per effetto Joule vale:

$E_d=\int_0^{\infty}R\frac {Q_o^2}{R^2C^2}e^{-2t(\alpha +1)/\alpha RC}dt= \int_0^{\infty}\frac {V_o^2}{R}e^{-2t(\alpha +1)/\alpha RC}dt= \frac {\alpha}{\alpha +1}\frac 12CV_o^2 \$

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