Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica/ES1

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Un filo conduttore di rame di lunghezza $l\$ , (ad esempio a causa della corrosione) è ben descritto da un tronco di cono che inizia con una sezione di raggio $a\$ e finisce con un raggio $b\$ in maniera lineare. Se il filo è percorso da una corrente $I\$ . Determinare: a) Il campo elettrico massimo e minimo nel filo. b)la resistenza del filo. c) La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale $P_{max}\$ .

(dati del problema $\rho_{Cu}=1.7\cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot m$ , $a=2\ mm$ , $b=4\ mm$ , $I=10\ A$ , $l=100\ m$ , $P_{um}=1\ W/cm^3$ )

Soluzione

a)

La densità di corrente è massima sulla sezione minore:

$J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2$

minima in quella maggiore:

$J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2$

Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:

$E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m$

$E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m$

b)

Il raggio del filo segue la legge:

$r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l$

La resistenza vale:

$R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}= \frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl \right]^2}$

Facendo il cambiamento di variabile:

$y=a+(b-a)\frac xl$

segue che:

$R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}= \frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068\ \Omega$

c)

Imponendo che: $\rho |J_m|^2\le P_{um}$ $|J_m|=\sqrt {\frac {P_{um}}{\rho}}$ Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola: $I_m=|J_m|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{um}}{\rho}}\pi a^2=99\ A$

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