Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica/Filo a tronco di cono

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Un filo conduttore di rame di lunghezza l\ , (ad esempio a causa della corrosione) è ben descritto da un tronco di cono che inizia con una sezione di raggio a\ e finisce con un raggio b\ in maniera lineare. Se il filo è percorso da una corrente I\ . Determinare:

  1. Il campo elettrico massimo e minimo nel filo.
  2. la resistenza del filo.
  3. La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale

P_{max}\ .

(dati del problema \rho_{Cu}=1.7\cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot m, a=2\ mm, b=4\ mm, I=10\ A, l=100\ m, P_{max}=1\ W/cm^3)

1. campo elettrico massimo e minimo nel filo

E_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m       E_{min}=3.5\cdot 10^{-3} V/m
E_{max}=1.33\cdot 10^{-3}\ V/m       E_{min}=3.6\cdot 10^{-2} V/m
E_{max}=1.34\cdot 10^{-2}\ V/m       E_{min}=3.6\cdot 10^{-3} V/m
E_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m       E_{min}=3.5\cdot 10^{-2} V/m

2. resistenza del filo
La soluzione è approssimata alla terza cifra dopo la virgola

3. massima corrente che può scorrere

98.4
100A
98A
99A

Il tuo punteggio è 0 / 0



Soluzione

1)

La densità di corrente è massima sulla sezione minore:

J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2

minima in quella maggiore:

J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2

Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:

E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m

E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m

2)

Il raggio del filo segue la legge:

r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l

La resistenza vale:

R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}= \frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl \right]^2}

Facendo il cambiamento di variabile:

y=a+(b-a)\frac xl

segue che:

R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}= \frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068 \Omega

3)

Imponendo che: \rho |J_{max}|^2\le P_{max} |J_{max}|=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}} Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:

I_{max}=|J_{max}|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}\pi a^2=99\ A

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