Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica/Scarica condensatore con 2 R

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Esercizi di fisica con soluzioni

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Il circuito mostrato in figura è a regime con l'interruttore aperto. All'istante $t=0\$ viene chiuso l'interruttore ed il sistema raggiunge una nuova situazione di regime. Determinare la carica ai capi del condensatore nelle due condizioni di regime. Determinare quando la corrente fornita dal generatore eguaglia quella fornita dal condensatore.

(Dati del problema $f=9\ V$ , $R_1=900\ \Omega$ , $R_2=1\ \Omega$ , $C=1\ mF$ , come aiuto al calcolo sono indicati i versi delle correnti dopo la chiusura dell'interruttore)

Soluzione

La carica iniziale vale:

$Q_o=Cf=9\ mC\$

Mentre una volta andato a regime il sistema con l'interruttore chiuso, la tensione ai capi di $R 2$ vale ovviamente:

$f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=1\ mV$

E quindi la carica finale ai capi di $C\$ vale:

$Q_f=Cf'=10\ \mu C$

Se definisco $I_1\$ la corrente in $R_1\$ , $I_3\$ quella in $R_2\$ ed $I_2\$ la corrente nel ramo del condensatore tale che la carica istantanea nel condensatore:

$I_2=-\frac {dQ}{dt}\$

L'equazione dei nodi e della maglie sono:

$f=I_1R_1+I_3R_2\$

$I_3=I_1+I_2\$

$\frac QC=R_2I_3\$

Da cui eliminando $I_1\$ ed $I_3\$ :

$f'C=I_3R'C+Q\$

con $R'=R_1R_2/(R_1+R_2)=1\ \Omega$ da cui, definendo $\tau =R'C=1\ ms$ :

$-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-f'C\$

Separando le variabili ed integrando:

$\int_{Q_o}^{Q}\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\int_o^t\frac {dt}{\tau}\$

$Q(t)=Q_f+(Q_o-Q_f)e^{-t/\tau}\$

Da cui:

$I_2=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o}{\tau }e^{-t/\tau}\$

$I_1=\frac {f-I_2R_2}{R_1+R_2}=\frac f{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t/\tau }\right)\$

Imponendo che:

$I_2=I_1\$

$\frac {e^{-t_1/\tau} }{R_2}=\frac 1{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t_1/\tau }\right)\$ $t_1=\tau \ln\left(1+\frac {R_1+R_2}{R_2}\right)=6.7\ ms\$

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