Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica/Un condensatore carico

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CwithRto4C.png

Le armature di un condensatore di capacità C\ sono portate ad una differenza di potenziale V_o\ . A questo punto attraverso una resistenza R\ una armatura viene connessa alla armatura di un condensatore scarico di capacità 4C\ . Le altre due armature erano in contatto sin dall'inizio. Determinare:

a) L'energia elettrostatica dissipata nella resistenza in tale processo.

b) La costante di tempo del processo di scarica/carica (a seconda di quale condensatore si considera).

(dati del problema V_0=200\ V, R=1\ M\Omega, C=1\ \mu F)



Soluzione

a)

Sulle armature del I condensatore vi è una carica iniziale:

Q_0=CV_o=200\ \mu C

Con una energia iniziale pari a:

E_0=\frac 12 CV_o^2=20\ mJ

Alla fine del processo tale carica si deve conservare, quindi le cariche finali valgono:

Q_{1f}+Q_{2f}=Q_0\

Inoltre le differenze di potenziale ai capi dei due condensatori debbono equivalersi:

\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{4C}

Cioè:

Q_{1f}=\frac {Q_o}5=40\ \mu C

Q_{2f}=\frac 45Q_o=160\ \mu C

Per cui:

E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{4C}=\frac 15\frac 12 \frac {Q_0^2}C

Quindi l'energia dissipata vale:

\Delta E=E_0-E_f=16\ mJ


b)

L'equazione della maglia:

\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_2}{4C}=0

Con in ogni istante:

Q_1+Q_2=Q_0\

Quindi:

\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_0-Q_1}{4C}=0\

Q_1+\frac 45RC\frac {dQ_1}{dt}-\frac {Q_0}{5}=0\

Quindi la costante di tempo vale:

\tau=\frac 45RC=0.8\ s

e separando le variabili:

\frac {dQ_1}{Q_1-Q_0/5}=-\frac {dt}{\tau}

\ln \frac {Q_1-Q_0/5}{Q_0-Q_0/5}=-\frac t{\tau}\

Q_1=\frac {Q_0}5+\frac {4Q_0}5e^{-t/\tau}\

'E facile vedere come per t=0\ e t=\infty\ assume i valori dati nel punto a).

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