Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Campo elettrico terrestre

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Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo vale circa E_{t}\ , diretto verso il centro della terra. La terra che ha un raggio R_t\ è globalmente neutra, per cui fino ad una quota di h\ vi è una densità volumetrica approssimatiavemente distributa uniformenente, tale carica deve essere eguale e contraria alla carica superficiale. Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota h\ e la superficie della terra. c) la capacità equivalente della terra in senso lato.

(dati del problema R_t=6350\ km, h=10\ km, E_t=100\ V/m)

La soluzione è approssimata ad una cifra dopo la virgola.

1. Quanto vale la capacità C

v1 F

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Soluzione

a) Dal teorema di Coulomb:

\sigma=-E_t\varepsilon_o=-8.86\cdot 10^{-10}\ C/m^2

Quindi:

Q_t=\sigma4\pi R_t^2=-4.6\cdot 10^5\ C

b) Detta la densità di carica nell'atmosfera \rho_t\ , poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo h\ è piccolo rispetto al raggio della terra, si può approssimare il suo volume con 4\pi R_t^2h\ e quindi:

\rho_t\approx \frac {-Q_t}{4\pi R_t^2h}

Quindi detta z\ una quota generica tra 0\ ed h\ , considerando una sfera concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss:

-E_z4\pi (R_t+z)^2=\frac {Q_t}{\varepsilon_o}+\frac {\rho_t4\pi R_t^2z}{\varepsilon_o}

Trascurando z\ rispetto a R_t\ e sostituendo

-E_z4\pi R_t^2=\frac {Q_t}{\varepsilon_o}-\frac {Q_tz}{h\varepsilon_o}

Quindi:

E_z=\frac {Q_t}{\varepsilon_o4\pi R_t^2}\left( \frac xh-1\right)

Quindi la d.d.p. tra la quota h\ e la superficie della terra vale:

\Delta V=-\int_h^0E_z dz=-\frac {Q_t}{4\pi\varepsilon_o R_t^2}\left(h- \frac {h^2}{2h}\right)=-\frac {Q_th}{8\pi \varepsilon_o R_t^2}=500\ kV

c) Quindi la capacità in senso lato vale:

C=\frac {Q_t}{\Delta V}=0.9\ F

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