Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Doppio strato

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Un doppio strato è costituito da due regioni planari (ai fini dei conti infinite) di densità di carica $\rho\$ e $-\rho\$ e di spessore d. Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra -d e d.

(Dati del problema: $\rho=50\ C/m^3$ , $d=0.3\ \mu m\$ )

La soluzione è approssiamata alla seconda cifra dopo la virgola,

Soluzione

Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è $-d/2<x'<d/2\$ consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione $S\$ ed altezza $2x\$ con il suo centro coincidente con il centro della regione.

Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo $|E|\$ . Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie. Quindi applicando il teorema di Gauss:

$|E^+|2S=\frac {\rho S2x'}{\epsilon_o}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\$

Quindi:

$E^+=\frac {\rho x'}{2\epsilon_o}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\$

Mentre se $|x'|>d/2\$ :

$|E^+|2S=\frac {\rho Sd}{\epsilon_o}\$

Quindi:

$E^+=\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\ge d/2\$

$E^+=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\le -d/2$

Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto:

$E^-=-\frac {\rho x'}{2\epsilon_o }\qquad per\ -d/2<x'<d/2\$

$E^-=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\le -d/2\$

$E^-=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\ge d/2\$

Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per $x'\$ in maniera diversa tra + e -.

$x'=x+\frac d2\$

Le equazioni divengono: $E^+=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\le -d\$

$E^+=\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon_o }\qquad per\ -d<x<0\$

$E^+=\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\ge 0$

$x'=x-\frac d2\$

Le equazioni divengono:

$E^-=\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\le 0\$ $E^-=-\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon_o }\qquad per\ 0<x\ <d$

$E^-=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\ge d\$

Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene:

$E=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }+\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=0\qquad per\ x\le -d$

$E=\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon_o }+\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=\frac {\rho (x+d)}{\epsilon_o }\qquad per\ -d<x<0$

$E=-\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon_o }+\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon_o }\qquad per\ 0<x<d$

$E=\frac {\rho d}{2\epsilon_o }-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=0\qquad per\ x\ge d$

Quindi il massimo di $E\$ si ha nell'origine in cui:

$\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac {\rho (x+d)}{\epsilon_o }=\lim_{x \rightarrow 0^+}-\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon_o }=\frac {\rho d}{\epsilon_o }=3.4\ \cdot 10^6\ V/m$

Mentre la d.d.p. tra i due lati vale:

$\Delta V=-\int_{-d}^0\frac {\rho (x+d)}{\epsilon_o }dx-\int_0^{d}\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon_o }=-\frac {\rho}{\epsilon_o }\left\{ \left[ \frac {x^2}2+xd \right]_{-d}^0+ \left[xd-\frac {x^2}2 \right]_0^d\right\}=\frac {\rho d^2}{\epsilon_o }=1.02\ V$

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