Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Giunzione p-n graduale

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Es15p89.png

Una giunzione p-n tra due semiconduttori è rappresentabile come un doppio strato (piano) di spessore 2d\ ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge: \rho =At\qquad -d<t<d\ . Al di fuori dello strato la carica è nulla.

Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra i due estremi dello strato


(Dati del problema: d=1\ \mu m, A=1\cdot 10^7 \ C/m^4)

Soluzione


Field.png

Avendo il problema simmetria piana. Si hanno tre regioni di spazio si hanno tre regioni due in cui il campo è nullo: x<-d\ , x>d\ e quella centrale -d<x<d\ in cui E_x\ne 0\ . La ragione per cui al di fuori dello strato il campo è identicamente nullo dipende dal fatto che la regione carica ha carica totale nulla, e le due regioni con carica opposta si bilanciano completamente. All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento.

Quindi sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo.

A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il campo elettrico nella regione centrale. Si consideri un cilindro gaussiano retto di superfice di base S\ . Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano e con una superfice nella prima regione e l'altra in un punto generico della regione centrale, applicando il teorema di Gauss:


E_xS=\frac S{\varepsilon_o}\int_{-d}^x\rho dt=S\frac {Ax^2}{2\varepsilon_o }-Cost\

da cui imponendo che per x=-d\ sia E_x=0\ :

E_x(x)=\frac A{2\varepsilon_o}(x^2-d^2)\

La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale:

\Delta V(d,0)=\int_{-d}^d E_xdx=\int_{-d}^d\frac {Ax^2dx}{2\varepsilon_o }= \frac A{3\varepsilon_o }d^3=0.38\ V

Si risolveva anche più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss in forma locale che all'interno della nuvola si riduce in:

\frac {dE_x}{dx}=\frac {Ax}{\varepsilon_o}\ Che integrato diviene:

E_x=\frac {Ax^2}{2\varepsilon_o}+Cost\

da cui imponendo che per x=-d\ sia E_x=0\ :

E_x(x)=\frac A{2\varepsilon_o}(x^2-d^2)\

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