Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Guscio sferico
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Una carica 
è distribuita uniformemente su un guscio sferico di raggio interno 
e raggio esterno 
. Determinare il campo nel punto 
equidistante tra le due superfici del guscio sferico e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio.
(dati del problema 
, 
, 
. )
Soluzione
La densità di carica vale:
Quindi dal teorema di Gauss ad una distanza generica 
tra ed :
![4\pi R^2 E(R)=\frac 1{\varepsilon_o}\int_{R_1}^R \rho 4\pi r^2 dr=
\frac 1{\varepsilon_o}\rho 4\pi\left[\frac {r^3}3\right]_{R_1}^R=
\frac {\rho 4\pi}{3\varepsilon_o }[R^3-R_1^3]](http://upload.wikimedia.org/math/f/5/c/f5cb91bb7258fcb786ef1f38749ff172.png)
Quindi per 
:
mentre ovviamente la d.d.p. tra i gusci, in modulo vale:
![\Delta V=\int_{R_1}^{R_2}\frac {\rho }{3\varepsilon_o}\left( R- \frac {R_1^3}{R^2}\right)dR=
\frac {\rho }{3\varepsilon_o}\left[\frac 12(R_2^2-R_1^2)+\frac
{R_1^3}{R_2}-R_1^2\right]=12\ V](http://upload.wikimedia.org/math/4/d/8/4d895b32f97575dfca73aa20a871975d.png)
