Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Nuvola cilindrica

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Una nuvola cilindrica di raggio $R\$ ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge:

$\rho=A+Br\$

Se il campo ad $R/2\$ vale in modulo $E_1\$ mentre a $5R\$ vale $E_2\$ . Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola.

(Dati del problema: $R=10\ m$ , $E_1=10^4\ V/m$ , $E_2=5\cdot 10^3\ V/m$ )

La soluzione è approssiamata alla prima cifra dopo la virgola.

Soluzione

per r<R si ha dal Teorema di Gauss, detta $h$ l'altezza di un cilindro Gaussiano, che:

$E_rh2\pi r=\frac 1{\epsilon_o}\int_0^r(A+Br)2\pi r dr h\$

da cui:

$E_r=\frac 1{\epsilon_o}(A\frac r2+B\frac {r^2}3)\$

mentre per r>R si ha dal Teorema di Gauss:

$E_rh2\pi r=\frac 1{\epsilon_o}\int_0^R(A+Br)2\pi r dr h\$

da cui:

$E_r=\frac 1{\epsilon_o}(A\frac {R^2}{2r}+B\frac {R^3}{3r})\$

Dai dati iniziali del problema si ha che:

$10^4\epsilon_o=2.5A+8.3B\$

$510^3\epsilon_o=A+6.66B\$

Da cui:

$A=3.54\cdot 10^{-8}\ C/m^3$

$B=2.65\cdot 10^{-9}\ C/m^4$

Quindi per r=R:

$E(R)=3000\ V/m$

Mentre la d.d.p. vale:

$d.d.p=\int_0^R E_rdr=\frac 1{\epsilon_o}(A\frac {R^2}4+B\frac {R^3}9)=13.3\ kV$

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