Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Tre gusci sferici

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Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi R\ , 1.5R\ e 2R\ . Il guscio esterno ed interno sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica Q\ . Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo.

(dati del problema Q=3\ \mu C\quad R=10\ m, suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre che la carica totale sui tre gusci sia nulla)

1. Quanto sarà il valore di E1?

v1 V/m

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Soluzione

Chiamiamo Q_1\ e Q_2\ la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che:

Q_1+Q_2=-Q\

Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra R_1\ ed R_2\ vale:

E=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o r^2}

Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale:

\Delta V_1=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_1-R_2}{R_1R_2}

mentre tra quella esterna e quella intermedia vale:

\Delta V_2=\frac {Q+Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_3-R_2}{R_2R_3}

Imponendo che:

\Delta V_1=\Delta V_2\

\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_1-R_2}{R_1R_2}=\frac {Q+Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_3-R_2}{R_2R_3}

Q_1=-\frac Q3=-1\ \mu C

\Delta V=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_1-R_2}{R_1R_2}=300\ V

La capacità elettrica vale dunque:

C=\frac Q{\Delta V}=10\ nF

La densità di carica sulla sfera interna vale:

\sigma_1=\frac {Q_1}{4\pi R^2}

Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale:

E_1=\frac {\sigma_1}{\varepsilon_o }=-90\ V/m

che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze

della sfera intermedia il campo sia minore: 80\ V/m.

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