Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss/Una nuvola sferica carica

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Una nuvola sferica carica ha un raggio $R\$ . La densità di carica è uniforme tra $0\$ ed $R/2\$ e vale $\rho/2\$ , mentre nel resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità è ancora uniforme, ma vale $\rho\$ . La carica totale della nuvola è nota e vale Q.

(Dati del problema: $R=1\ m\$ , $Q=4\cdot 10^{-6}\ C$ )

La carica totale vale:

$Q=\frac 43 \pi \left( \frac R2 \right)^3\frac {\rho}2+ \frac 43 \pi \left[ R^3 -\left(\frac R2 \right)^3 \right] \rho= \frac {5}{4}\pi \rho R^3$

quindi:

$\rho=\frac {4 Q}{5\pi R^3}=1\cdot 10^{-6}\ C/m^3$

$Q_i=\frac 43 \pi \left( \frac R2 \right)^3\frac {\rho}2= \frac 43 \pi \left( \frac R2 \right)^3\frac {2 Q}{5\pi R^3}= \frac Q{15}=2.7\cdot 10^{-7}\ C$

Nel guscio sferico compreso tra $R/2\$ e $2 R / 3$ vi è una carica:

$Q_e=\frac 43 \pi \left[ \left(\frac {2R}3 \right)^3 -\left(\frac R2 \right)^3 \right] \rho=7.3\cdot 10^{-7}\ C$

Dal teorema di Gauss:

$E=\frac {Q_i+Q_e}{4\pi \epsilon_o \left( \frac 23 R \right)^2}=2 \cdot 10^4\ V/m$

	2 $\cdot 10^4$
	2 $\cdot 10^3$
	3 $\cdot 10^4$
	3 $\cdot 10^3$

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