Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Due spire

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Due bobine circolari compatte rispettivamente di raggio $R_1\$ ed $R_2\$ , formate da $N_1\$ ed $N_2\$ spire, sono coassiali parallele ad una distanza di $d\$ .

Determinare la loro mutua induzione.

b) La forza che si esercita tra di loro se sono percorse da correnti eguali $I_1\$ .

dati del problema $R_1=20\ cm$ , $R_2=1\ cm$ , $N_1=200\$ , $N_2=20\$ , $d=20\ cm$ , $I_1=10\ A$ , il campo generato dalla bobina più grande è praticamente costante lungo il piano della seconda).

Soluzione

a) Il campo generato dalla prima bobina sul suo asse, nel punto in cui si trova al prima bobina vale, in modulo:

$|\vec B_1|=\frac {\mu_o}2\frac { R_1^2I_1N_1}{\left( R_1^2 +d_1^2 \right)^{3/2} }\$

Quindi il flusso concatenato sulla seconda vale:

$\Phi_c=N_2|\vec B_1|\pi R_2^2\$

quindi la mutua induzione vale:

$M=\frac {\mu_o}2\frac {\pi R_1^2R_2^2N_1N_2}{\left( R_1^2 +d_1^2 \right)^{3/2} }=14.5\ \mu H$

b) La seconda spira ha un momento di dipolo magnetico di:

$|m_2|=\pi R_2^2N_2I_1\$

quindi la forza vale:

$\vec {F}=grad(\vec {m_2}\cdot \vec {B_1})\$

quindi la forza è diretta secondo l'asse, attrattiva se le bobine sono equiverse, e di valore:

$|F|=\frac {\mu_o}2 \pi R_1^2R_2^2N_1N_2I_1^2 \left|\frac {\partial}{\partial z}\left[ \left( R_1^2 +z^2 \right)^{-3/2} \right] \right|_{z=d}=3\mu_o \pi R_1^2R_2^2N_1NI_1^2 \frac {d}{\left(R_1^2 +d^2 \right)^{3/2}}=8.4\ N$

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