Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Mutua induzione tra spire quadrate

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Determinare la mutua induzione in funzione delle distanza per due spire quadrate rispettivamente di $n_1=10\$ e $n_2=100\$ spire, di lato $l=1\ cm$ a distanza $d\gg l$ . Approssimare le spire come dei dipoli magnetici.

a) $d=10l\$ sullo stesso piano

b) $d=10l\$ sullo stesso asse

Soluzione

Approssimando e le due spire come due dipoli magnetici di modulo:

$m_1= n_1I_1l^2\$

$m_2=n_2I_2l^2\$

A causa della reciprocità della mutua induzione possiamo calcolare il campo generato dalla prima sulla seconda.

a) Sul piano l'unica componente dell'induzione magnetica generata da un dipolo magnetico è la componente entrante normale al piano delle spire:

$B_{1z}=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {m_1}{d^3}= \frac {\mu_o}{4\pi} \frac {n_1I_1l^2}{d^3}\$

Quindi il flusso concatenato con la seconda spira vale:

$\phi_2=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {n_1I_1l^2}{d^3}n_2l^2\$

$M=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {n_1n_2l^4}{d^3}= \frac {\mu_o}{4\pi} l=1\ nH$

b) Sull'asse l'unica componente dell'induzione magnetica generata da un dipolo magnetico è la componente uscente normale al piano delle spire:

$B_{1z}=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2m_1}{d^3}= \frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2n_1I_1l^2}{d^3}\$

Quindi il flusso concatenato con la seconda spira vale:

$\phi_2=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2n_1I_1l^2}{d^3}n_2l^2\$

$M=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2n_1n_2l^4}{d^3}= \frac {\mu_o}{2\pi} l=2\ nH\$

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