Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Spira dentro solenoide

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Un solenoide molto lungo ha un numero di spire $N\$ ed è lungo $l\$ . La corrente al suo interno cresce linearmente nel tempo secondo la legge: $I(t)=mt\$ . Al suo interno è posto un anello conduttore di raggio $r\$ e resistenza $R\$ . Determinare la potenza dissipata nell'anello ed il campo magnetico al suo interno trascorso un tempo $t_1\$

(dati del problema: $N=1000\$ , $l=1\ m$ , $m=10^4\ A/s$ , $R=0.001\ \Omega$ , $r=10\ cm$ , $t_1=1\ ms$ )

Soluzione

Il numero di spire per unità di lunghezza vale:

$n=\frac Nl=1000\ m^{-1}$

Il campo magnetico generato dal solenoide, in assenza dell'anello, vale:

$B_s=\mu_o nI=\mu_o nmt\$

Quindi il flusso concatenato all'anello vale:

$\phi_c =\mu_o nm\pi r^2t\$

Quindi la f.e.m. indotta vale:

$f.e.m=-\mu_o nm\pi r^2=0.39\ V$

quindi la corrente circolante è costante e vale:

$I_c=\frac {f.e.m.}R=-\frac {\mu_o nm\pi r^2}R=395\ A$

Quindi la potenza dissipata istantaneamente per effetto Joule vale:

$P=I_c^2R=156\ W$

La corrente circolante genera al centro dell'anello un campo pari a:

$B_a=\frac {\mu_o I_c}{2r}=-\frac {\mu_o^2 nm\pi r}{2R}\$

Quindi il campo totale $B_t\$ vale:

$B_t=B_s+B_a=\mu_o nm \left(t-\frac {\mu_o \pi r}{2R}\right)\$

quindi dopo $t_1\$ :

$B_t=0.01\ T\$

(notare come per $t\rightarrow 0\$ il campo, avendo trascurato l'induttanza, diventa negativo, tale risultato non fisico dipende dall'avere trascurato l'induttanza dell'anello, che non può essere trascurata nel momento iniziale)

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