Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Spira e solenoide

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Una spira circolare di raggio r_0\ , resistenza R_0\ , si trova all'interno di un solenoide di lunghezza l\ di N\ spire e raggio r_1\ . Il piano della spira forma un angolo di \theta\ con l'asse del solenoide.

Nel solenoide scorre una corrente di I_0\ e al tempo t=0\ viene staccato l'alimentatore e fatta scaricare la corrente su una resistenza R_1\ .

a) Determinare la mutua induzione tra spira e solenoide.

b) Determinare la corrente indotta nella spira al tempo t=t_1\ , trascurando l'induttanza della spira stessa.

c) Determinare l'energia totale dissipata durante il periodo 0-t_1\ nella spira.

(dati del problema N=3000\ , r_1=10\ cm, r_0=5\ cm, R_0=0.1\ \Omega, R_1=1\ \Omega, t_1=0.5\ s, I_0=10\ A, \theta=45^{\circ}\ , l=50\ cm).


Soluzione

a) Il campo prodotto al centro del solenoide vale:

B=\frac {\mu_o N I}l\

e quindi il flusso concatenato con la spira vale:

\phi=B\pi r_0^2 \cos \theta=\frac {\mu_o N I}l \pi r_0^2 \cos \theta\

Quindi la mutua induzione vale:

M=\frac {\phi}I= \frac {\mu_o N}l \pi r_0^2 \cos \theta= 42 \mu H

b) L'induttanza del solenoide vale

L_1=\frac {\mu_o N^2\pi r_1^2}l=0.71\ H

Il solenoide si scarica secondo la legge:

I=I_0e^{-t/\tau}\

dove \tau=L_1/R_1=0.71\ s. La corrente indotta, trascurando l'induttanza della spira, vale:

I_{in}= \frac 1{R_0}\frac {\partial \phi}{\partial t}= \frac M{R_0}\frac {\partial I}{\partial t}= \frac {MR_1}{L_1 R_0}I_0e^{-t/\tau}\

che per t=t_1\ quindi:

I_{in}=2.92\ mA

c) L'energia totale dissipata nella spira tra t=0$ e <math>t=t_1$: <math>E=\int_0^{t_1} I_{in}^2 R_0 dt= \int_0^{t_1} \frac {M^2R_1^2}{L_1^2 R_0}I_0^2e^{-2t/\tau}dt= \frac {M^2R_1}{2L_1R_0 }I_0^2(1-e^{-2t_1/\tau})=0.94\ \mu J

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