Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Un dipolo ruotante

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Un dipolo elettrico di momento p\ è formato da due cariche separate da una distanza d\ . Se il dipolo è posto in rotazione attorno ad un asse ortogonale alla congiungente che dista d/4\ dalla carica negativa compiendo n\ giri al secondo.

Determinare: a) Il momento di dipolo magnetico equivalente del sistema. b) Il campo di induzione magnetica a 100d\ dal centro di rotazione (anche solo approssimato) sull'asse di rotazione. c) Il campo di induzione magnetica nel centro di rotazione.

(dati del problema: p=10^{-3}\ Cm, d=2\cdot 10^{-2}\ m, n=1000\ \ )




Soluzione

a) Il periodo vale:

T=\frac 1n=1\ ms

Quindi la carica positiva

q=\frac pd=0.05\ C

equivale ad una spira di raggio 3d/4\ percorsa da una corrente

I=\frac qT=\frac{np}d=50\ A

Quindi ha un momento magnetico:

m^{+}=\pi \left( \frac{3d}4\right) ^2I=3.53\times 10^{-2}\ Am^2

mentre, la carica negativa equivale ad una spira di raggio d/4\ percorsa da una corrente di segno opposto a prima pari a:

I=\frac{np}d\

Quindi ha un momento magnetico:

m^{-}=-\pi \left( \frac d4\right) ^2I=-3.93\times 10^{-3}\ Am^2

Il momento magnetico totale quindi vale:

m=m^{+}+m^{-}=3.14\times 10^{-2}\ Am^2


b) Quindi a grande distanza genera un campo di induzione magnetica pari a:

B_a=\frac{\mu _om}{2\pi \left( 100d\right) ^3}=7.85\times 10^{-10}\ T

Eguale, nei limiti della precisione del calcolo, al valore esatto:

B=\frac{\mu _oI\left( \frac{3d}4\right) ^2}{2\left[ \left( \frac{3d}4\right) ^2+\left( 100d\right) ^2\right] ^{3/2}}-\frac{\mu _oI\left( \frac d4\right) ^2}{2\left[ \left( \frac d4\right) ^2+\left( 100d\right) ^2\right] ^{3/2}} =7.85\times 10^{-10}\ T

c) Al centro non posso usare l'approssimazione del dipolo, ma debbo calcolare la sovrapposizione dei campi delle due spire:

B=\frac{\mu _oI}2\cdot \left[ \frac 1{\left( \frac{3d}4\right) }-\frac 1{\left( \frac d4\right) }\right] =-4.19\times 10^{-3}\ T

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