Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Un disco ruotante

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Un disco conduttore di raggio $R\$ ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\omega\$ . La carica totale è $Q\$ , essendo il disco sottile, la densità di carica superficiale sopra il disco varia con la distanza dal centro $r\$ con la legge: $\sigma= \frac A{\sqrt{R^2-r^2}}\$ . Determinare: a) Il valore di $A\$ . b) Il campo di induzione magnetica generato nel centro di un anello di pari carica e raggio, ruotante alla stessa velocità angolare. c) Il campo di induzione magnetica nel centro del disco.

(dati del problema $Q=3.14\ nC$ , $\omega=10^3\ rad/s\$ , $R=2\ m$ )

Soluzione

a)

$Q=\int_0^R\frac{A2\pi rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=2\pi AR\$

$A=\frac Q{2\pi R}=2.5\times 10^{-10}\ C/m$

b) Nel caso dell'anello

$I=\frac QT=\frac Q{2\pi }\omega\$

$B_z=\mu _o\frac I{2R}=\mu _o\frac{Q\omega }{4\pi R}=1.57\times 10^{-13}\ T\$

c) Nel caso del disco, consideriamo una generica corona circolare di spessore infinitesimo $dr\$ :

$dQ=\sigma 2\pi rdr\$

$dI=\frac{dQ}{2\pi }\omega =\frac{\sigma 2\pi rdr\omega }{2\pi }=\frac A{ \sqrt{R^2-r^2}}rdr\omega\$

$dB_z=\mu _o\frac{dI}{2r}=\mu _o\frac{Adr\omega }{2\sqrt{R^2-r^2}}=\mu _o \frac{Q\omega dr}{4\pi R\sqrt{R^2-r^2}}\$

quindi:

$B_z=\mu _o\int_0^R\frac{Q\omega dr}{4\pi R\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{\mu _oQ\omega }{4\pi R}\left[ \arcsin \frac rR \right]_0^R=\frac{ \mu _oQ\omega }{8 R}=2.5\times 10^{-13}\ T$

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