Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Una spira quadrata

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

< Esercizi di fisica con soluzioni | Magnetismo

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Dato un punto a distanza $\alpha l\$ sull'asse di una spira quadrata di lato $l\$ percorsa da una corrente $I\$ . Determinare il rapporto tra il campo magnetico generato dalla spira e quello del dipolo magnetico equivalente. In particolare eseguire il calcolo per $\alpha=2\$ .

Soluzione

Scelto un sistema di coordinate cartesiane con centro coincidente con l'asse della spira ed assi $x\$ ed $y\$ paralleli alle spire stesse. Un elemento del lato di destra parallelo all'asse $y\$ ha coordinate $\vec {dl_1}=(0,dy,0)\$ è a distanza $\vec {r}=(l/2,y,\alpha l)\$ dal punto sull'asse per cui:

$\vec {dl_1}\times \vec r=\alpha ldy\vec i-\frac l2dy\vec k\$

Quindi la componente parallela all'asse, l'unica esistente per ragioni di simmetria, generata da tutto il lato vale:

$B_z^1=\frac {\mu_o}{4\pi}\frac l2 I\int_{-\frac l2}^{\frac l2} \frac {dy}{ \left[ (\frac l2)^2+y^2+ (\alpha l)^2 \right]^{3/2}}\$ $B_z^1=\frac {\mu_o}{4\pi}\frac l2 I \left[ \frac y{ (\frac l2)^2+ (\alpha l)^2}\frac 1{\sqrt{(\frac l2)^2+y^2+ (\alpha l)^2} } \right]_{-\frac l2}^{\frac l2}\$

Quindi per i 4 lati: $B_z=4B_z^1= \frac {\mu_o}{2\pi l} I \frac {4\sqrt{2}}{(1+4\alpha^2) \sqrt {1+2\alpha^2}}\$

Mentre il campo generato sull'asse del dipolo equivalente vale: $B_{dz}=\frac {\mu_o}{2\pi}\frac {Il^2}{\alpha^3 l^3}= \frac {\mu_o}{2\pi}\frac {I}{\alpha^3 l}\$

Quind il loro rapporto vale:

$R=\frac {B_z}{B_{dz}}= \frac {4\alpha^3 \sqrt{2}}{(1+4\alpha^2) \sqrt {1+2\alpha^2}}\$

In particolare per $\alpha=2\$ vale;

$R=0.89\$

Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo/Una spira quadrata

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Stampa/esporta

Ricerca

strumenti