Esercizi di fisica con soluzioni/Quantità di moto

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Copertina

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Esercizi[modifica]

1. Urto elastico[modifica]

Un corpo di massa m1 si muove con velocità costante v0, quando urta in modo elastico un corpo di massa m2 inizialmente fermo. Calcolare le velocità v1 e 2 dei due corpi dopo l'urto approssimate alla prima cifra dopo la virgola. (se il risultato dovesse venire negativo è necessario far precedere il segno " - " prima del numero senza lasciare spazi, es:" -9 ". Il segno " + " può anche essere omesso

Questa esercitazione si divide in tre casi possibili:

  1. m1 > m2 (m1 =6kg; m2 =4kg; v0 =4m/s)
  2. m1 = m2 (m1 =5Kg; m2 =5Kg; v0 =6m/s)
  3. m1 < m2 (m1 =2Kg; m2 =8Kg; v0 =5m/s)

1. m1 > m2

v1 m/s
v2 m/s

2. m1 = m2

v1 0 m/s
v2 m/s

3. m1 < m2

v1 m/s
v2 m/s

Il tuo punteggio è 0 / 0


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2. Esplosione[modifica]

Esplosione.png

Una massa che inizialmente presenta uno stato di quiete, esplode e si divide in due pezzi, m1= 15Kg e m2=60Kg.

Supponendo che l'energia sprigionata dall'esplosione sia 4500 J e che tutta l'energia venga trasferita a m1 e m2 sotto forma di energia cinetica, calcolare le velocità v1 e v2 delle masse dopo l'esplosione approssimate alla seconda cifra dopo la virgola.

Muovendosi in direzioni opposte, una velocità sarà negativa.

1.

v1 m/s

2.

v2 \approx m/s

Il tuo punteggio è 0 / 0


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3. Esplosione in quota[modifica]

Es4p38.png

Un punto materiale di massa m=0.3\ kg\ viene lan\-ciato lungo la verticale da una molla di costante ela\-stica K=300\ N/m\ , con l compressione iniziale \Delta x=10\ cm. Il punto materiale si stacca quando la molla raggiunge la posizione di riposo. Raggiunta un’altezza h=30\ cm dalla posizione di distacco dalla molla, (ancora in fase ascendente) il punto materiale esplode in due frammenti di massa m_1=0.1\ kg e m_2=0.2\ kg come illustrato in figura. Gli angoli formati dalle direzioni delle due velocità v_{01}\ e v_{02}\ dei due frammenti subito dopo l'esplosione rispetto all'orizzontale sono \theta_1=30^o\ , \theta_2=20^o\ .

Si chiede di calcolare (trascurando l'attrito): a) La velocità v_0\ del punto materiale subito dopo il distacco dalla molla; b)le velocità v_{01}\ e v_{02}\ dei due punti materiali subito dopo l'esplosione; c) L’altezza massima raggiunta da m_1\ rispetto alla posizione dell'esplosione; d) La distanza d\ rispetto alla posizione del distacco in cui m_2\ cade a terra.

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Soluzioni[modifica]

1. Urto elastico[modifica]

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Questo esercizio può avere tre soluzioni, a seconda che la massa urtante sia uguale, maggiore o minore di quella urtata.

Prima verrà analizzata la formula generale, successivamente verranno affrontate caso per caso tutte le soluzioni.

Espressione generale


 \begin{cases} m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \\
\frac{1}{2} m_1 v_0^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \end{cases}

Possiamo dividere per m2 la prima equazione (che sicuramente sarà diversa da 0) e moltiplicare per 2 la seconda ottenendo:


 \begin{cases} \frac{m_1}{m_2}v_0 = \frac{m_1}{m_2} v_1 + v_2 \\
\frac{m_1}{m_2}v_0^2 = \frac{m_1}{m_2} v_1^2 + v_2^2 \end{cases}

Isolando il termine in v2 nelle due equazioni otterremo:


 \begin{cases} \frac{m_1}{m_2} (v_0 - v_1) = v_2 \\
\frac{m_1}{m_2} (v_0^2 - v_1^2) = v_2^2 \end{cases}

Sostituendo v2 nella seconda equazione otterremo:


\frac{m_1}{m_2} (v_0^2 - v_1^2) = \left ( \frac{m_1}{m_2}  \right )^2 (v_0 - v_1)^2 \Rightarrow \ \frac{m_1}{m_2} (v_0 + v_1)(v_0 - v_1) = \left ( \frac{m_1}{m_2}  \right )^2 (v_0 - v_1)^2

Semplificando m1/m2 e per (v0-v1) si avrà:


(v_0 + v_1) =  \left ( \frac{m_1}{m_2}  \right ) (v_0 - v_1) \Rightarrow \ v_0 \left ( \frac{m_1 - m_2}{m_2}  \right ) = v_1 \left ( \frac{m_1 + m_2}{m_2} \right )

per trovare v1


v_1= \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_0

Per trovare v2


v_2= \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_0

Possiamo notare che la velocità v2 avrà sempre lo stesso segno di v0, mentre invece v1 potrà assere negativa, positiva o nulla a seconda che m1 sia maggiore, minore o uguale a m2.
Analizziamo ora i casi che possiamo incontrare
m1 < m2

m1= 2Kg
m2= 8Kg
v0=5m/s

v_1= \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_0 = \frac{2 - 8}{2 + 8}5 = \frac{-6}{10}5= - 3m/s

v_2= \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_0 = \frac{2\cdot 2}{2+8}5 = \frac{4}{10}5= +2m/s

La massa m1 rimbalza dopo l'urto.
m1 > m2

m1=6Kg
m2=4Kg
v0=4m/s

v_1= \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_0 = \frac{6 - 4}{6 + 6}5 = \frac{+2}{10}5= +0.8m/s

v_2= \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_0 = \frac{2\cdot 6}{6+4}5 = \frac{12}{10}5= +4.8m/s

La massa m1 prosegue dopo l'urto e m2 acquista una velocità maggiore di m1 prima dell'urto.
m1 = m2

m1=5Kg
m2=5Kg
v0=6m/s

v_1= \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_0 = \frac{5 - 5}{5 + 5}6 = \frac{0}{10}6= 0m/s

v_2= \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_0 = \frac{2\cdot 5}{5+5}6 = \frac{10}{10}6= +6m/s

La massa m1 si arresta dopo l'urto e m2 acquista una velocità UGUALE a quella di m1 prima dell'urto, cioè la quantità di moto e l'energia cinetica si trasferiscono interamente dalla massa m1 ad m2.

2. Esplosione[modifica]

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La quantità di moto iniziale uguale a 0 perché il sistema è fermo.

L'esplosione, che una forza interna, fa sì che la quantità di moto complessiva resti nulla anche dopo l'esplosione. Se l'energia sprigionata dall'esplosione si trasforma in sola energia cinetica e i due frammenti non ruotano, possiamo scrivere due equazioni. Si noti che i due frammenti si muovono sulla stessa retta.


 \begin{cases}0=m_1 v_1 + m_2 v_2 \\
E=\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\end{cases}

Dividendo la prima equazione per m1 e moltiplicando la seconda per 2 si ha:


\begin{cases} 0=v_1 + \frac{m_2}{m_1} v_2 \Longrightarrow \ v_1=-\frac{m_2}{m_1} v_2\\
2E= m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2\end{cases}


\begin{cases} v_1=-\frac{m_2}{m_1} v_2\\
2E= m_1 (-\frac{m_2}{m_1} v_2)^2 + m_2 v_2^2 \Longrightarrow \ 2E=\frac{m_2^2}{m_1} v_2^2 + m_2 v_2^2 \Longrightarrow \ 2E=(\frac{m_2}{m_1}+1) m_2 v_2^2
\end{cases}


 v_2^2=\frac{2E}{(\frac{m_2}{m_1} + 1) m_2}


 v_2 = \sqrt{=\frac{2E}{(\frac{m_2}{m_1} + 1) m_2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3000}{(\frac{00}{15} + 1) 60}} = \sqrt{\frac{4500}{300}} =  \sqrt{30} \approx 5.48 m/s


 v_1 = \frac{60}{15} 5.48 = -21.91  m/s

Le velocità sono inversamente proporzionali alle masse e hanno segno opposto.

3. Esplosione in quota[modifica]

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a)

La velocità al momento del distacco dalla molla si può calcolare utilizzando la conservazione dell’energia meccanica, ricordandosi anche del contributo dato dalla variazione dell’energia potenziale gravitazionale:

\frac 12 K\Delta x^2=\frac 12mv_0^2+mg\Delta x\

da cui:

v_0=\sqrt{\frac {K\Delta x^2-2mg\Delta x}m}=2.84\ m/s\

Notiamo che con questa velocità iniziale potrebbe arrivare fino ad h_{max}\ , essendo:

\frac 12mv_0^2=mgh_{max}\
h_{max}=\frac {v_0^2}{2g}=41\ cm\

b)

Subito prima di esplodere la velocità v\ , si ricava dalla conservazione dell'energia:

mgh+\frac 12mv^2=\frac 12mv_0^2\
v=\sqrt{v_0^2-2gh}=1.47\ m/s\

Poiché la divisione avviene a causa di sole forze interne si conserva la quantità di moto durante il distacco, perciò imponendo tale conservazione nella direzione orizzontale:

m_1v_{01}\cos \theta_1-m_2v_{02}\cos \theta_2=0\

si può calcolare la relazione tra le velocità v_{01}\ e v_{02}\ :

v_{02}=\frac {v_{01}m_1\cos \theta_1}{m_2\cos \theta_2}\

Quindi dalla conservazione della quantità di moto nella direzione verticale:

mv=m_1v_{01}\sin \theta_1-m_2v_{02}\sin \theta_2\

sostituendo:

mv=m_1v_{01}\sin \theta_1-m_2v_{01}\frac {v_{01}m_1\cos \theta_1}{m_2\cos \theta_2}\sin \theta_2\
v_{01}=\frac {mv}{m_1(\sin \theta_1-\cos \theta_1\tan \theta_2)}=24\ m/s\
v_{02}=\frac {v_{01}m_1\cos \theta_1}{m_2\cos \theta_2}=11\ m/s\


c)

L’altezza massima del punto m_1\ può essere calcolata applicando la conservazione dell’energia lungo la direzione verticale:

\frac 12 m_1 (v_{01}\sin \theta_1)^2=m_1gh_1\

da cui:

h_1=\frac {(v_{01}\sin \theta_1)^2}{2g}=7.2\ m\

d)

Mentre per via cinematica è invece possibile calcolare il punto di caduta di m_2\ :

x_2(t)=v_{02}\cos \theta_2t\
y_2(t)=(h+x)-v_{02}\sin \theta_2 t-\frac 12gt^2\

Infatti h+x\ è l’altezza a cui avviene il distacco (h\ più lunghezza della molla). Imponendo y(t_f )=\ 0\ si ricava il tempo di volo, che permette di calcolare la gittata d\ :

t_f=\frac {v_{02}\sin \theta_2+sqrt{v_{02}^2\sin^2 \theta_2}-2g(h-x)}g=0.6\ s\
d=x_2 (t_f )=6.2\ m\