Fisica classica/Dinamica dei sistemi di punti materiali

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Abbiamo parlato nella dinamica del punto del comportamento di un corpo sottoposto all'azione di forze. Ora analizziamo la situazione nella quale diversi punti fanno parte di un sistema complesso e tra di essi vi sono sia forze esterne al sistema sia forze interne, cioè forze che agiscono solo all'interno del sistema e sono generate all'interno del sistema stesso. Quindi su ciascuno di essi agirà una forza risultante pari a ${\vec {F}}_{i}$.

La scelta di quali punti materiali fanno parte del sistema e quali non ne fanno parte è puramente arbitraria e dipende dalla comodità di calcolo.

Forze esterne ed interne

Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.

Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti . Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna.

Quindi alla forza risultante (${\vec {F}}_{i}$) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (${\vec {F}}_{i}^{E}$) e quello dovuto alle forze interne ${\vec {F}}_{i}^{I}$:

${\vec {F}}_{i}={\vec {F}}_{i}^{E}+{\vec {F}}_{i}^{I}$

Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione:

${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}$

cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella.

La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi:

${\vec {R}}^{I}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{I}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\vec {F}}_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j$

Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione.

Grandezze del sistema

In un sistema di n punti ognuno di essi contribuisce con le sue grandezze caratteristiche al sistema e possiamo definire la risultante delle forze esterne:

${\vec {R}}^{E}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{E}$

(1)

La quantità di moto totale:

${\vec {P}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {P}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {v}}_{i}$

(2)

Dove $m_{i}$ è la massa delle singole particelle e ${\vec {v}}_{i}$ la velocità istantanea delle particelle rispetto al sistema di riferimento scelto. L'energia cinetica totale:

$E_{k}=\sum _{i=1}^{n}E_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$

(3)

Il momento angolare totale:

${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {L}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$

(4)

dove ${\vec {r}}_{i}$ è la distanza del punto materiale dal polo arbitrariamente scelto. Il polo può essere in moto rispetto al sistema di riferimento.

Centro di massa

Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa

Si definisce centro di massa di un sistema di n punti materiali, il punto geometrico le cui coordinate sono date da:

${\vec {r}}_{CM}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\cdots +m_{n}{\vec {r}}_{n}}{M}}$ = ${\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}$

(5)

dove M = m₁ + m₂ + ... + m_n è la massa totale del sistema e le quantità ${\vec {r}}_{i}$ sono i raggi vettori dei punti materiali rispetto al sistema di riferimento usato.

La posizione tiene conto in un certo senso (è una media pesata) del contributo delle singole masse di ciascun punto: masse maggiori contribuiscono in maniera preponderante.

Un esempio potrebbe essere il nostro sistema solare considerato un centro del sistema di riferimento un punto al di fuori di esso: la posizione del centro di massa sarebbe quasi coincidente con quella del nostro sole che ne detiene il 99.9% della massa totale.

In un sistema di coordinate cartesiane la posizione del centro di massa è:

$x_{CM}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{M}}\qquad y_{CM}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}{M}}\qquad z_{CM}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}}{M}}$

La posizione del centro di massa non dipende dal sistema di riferimento scelto, mentre le coordinate dipendono dal sistema scelto.

Se i punti del sistema sono in movimento anche il centro di massa è in movimento e possiamo definire la velocità del centro di massa come:

${\vec {v}}_{CM}={\frac {d{\vec {r}}_{CM}}{dt}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {v}}_{i}}{M}}={\frac {\vec {P}}{M}}$

${\vec {P}}=M{\vec {v}}_{CM}$

(6)

Cioè la quantità di moto del sistema è data dal prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa. La quantità di moto totale (${\vec {P}}\$) caratterizza la parte traslatoria del moto. Se il sistema di punti materiali ruota intorno ad un punto o un asse, il valore medio della quantità di moto è nullo, ma non quello istantaneo.

Prima equazione cardinale

L'accelerazione del centro di massa è quindi:

${\vec {a}}_{CM}={\frac {d{\vec {v}}_{CM}}{dt}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}}{M}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}$

Per ogni singolo punto materiale possiamo scrivere:

$m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}={\vec {F}}_{i}^{E}+{\vec {F}}_{i}^{I}$

Facendo la sommatoria di entrambi i membri si ha che:

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {a}}_{i}=M{\vec {a}}_{CM}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{E}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{I}={\vec {R}}^{E}$

Quindi:

$M{\vec {a}}_{CM}={\vec {R}}^{E}$

(7)

Che è detta la I equazione cardinale della meccanica che è l'estensione della II legge della dinamica del punto materiale.

Conservazione della quantità di moto

Il pendolo di Newton, esempio di conservazione della quantità di moto.

Se il sistema è isolato, cioè non agisce su di esso nessuna forza esterna. Si ha che l'accelerazione del centro di massa è nulla e di conseguenza la derivata della quantità di moto del centro di massa nel tempo è nulla; di conseguenza è una costante.

${\vec {P}}=M{\vec {v}}_{CM}=costante$

Notiamo che questo non comporta che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura la quantità di moto passa da una sfera alla successiva e la quantità di moto di una sfera che urta l'inizio della catena viene trasferita con passaggi successivi fino all'ultima sfera.

Se non agiscono forze esterne quindi il moto del centro di massa è rettilineo uniforme. Quindi le forze interne determinano il moto all'interno del sistema, ma non riescono a cambiare la quantità di moto totale di un sistema. Notiamo che essendo M costante si ha che anche la velocità del centro di massa rimane costante. Il caso dei sistemi a massa variabile che è una caratteristica ad esempio della propulsione dei mezzi a reazione implica necessariamente la presenza di forze esterne e quindi non viene inquadrata nell'ambito di questo caso specifico.

Un caso particolarmente interessante da studiare, che è compreso nei casi in cui si conserva la quantità di moto, è l'urto che verrà discusso in seguito. In tale processo le forze interne di breve durata, quindi impulsive, sopravanzano tutte le forze esterne e quindi nella fase dell'urto si conserva la quantità di moto totale del sistema.

Momento angolare

Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di momento angolare, ma studiando la dinamica del singolo punto materiale era una definizione con scarso interesse. Nella dinamica dei sistemi, tale grandezza ha un notevole interesse, specialmente nello studio della rotazione di insieme dei corpi.

Il momento angolare totale di un sistema di punti è per estensione della definizione di momento angolare:

${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {L}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$

Dove ${\vec {r}}_{i}$ è il vettore diretto dal polo (unico per il sistema) e l'i-esimo punto materiale.

Per quanto riguarda il momento delle forze, rispetto allo stesso polo, possiamo separare il contributo delle forze interne da quelle esterna nel calcolo del momento delle forze, definendo il momento totale delle forze esterne:

${\vec {\tau }}^{est}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}^{est}$

e quello delle forze interne:

${\vec {\tau }}^{int}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}^{int}=0$

La ragione del fatto ${\vec {\tau }}^{int}\equiv 0$ dipende dal fatto che le forze interne tra due punti qualsiasi del sistema sono uguali e contrarie ed agiscono sulla stessa direttrice. Quindi qualsiasi sia la scelta del polo il momento totale delle forze interne è nullo.

Seconda equazione cardinale

Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}^{est}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}^{int}$

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}+{\vec {\tau }}^{est}$

Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: ${\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}\equiv {\vec {v}}_{i}$ e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità ${\vec {v}}_{O}$ allora:

${\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}={\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{O}$

In tale caso:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}({\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{O})\times m_{i}{\vec {v}}_{i}+{\vec {\tau }}^{est}=-{\vec {v}}_{O}\times \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {v}}_{i}+{\vec {\tau }}^{est}==-{\vec {v}}_{O}\times {\vec {P}}+{\vec {\tau }}^{est}=-M{\vec {v}}_{O}\times {\vec {v}}_{CM}+{\vec {\tau }}^{est}$

(8)

questa è detta la II equazione cardinale.

Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {\tau }}^{est}$

(9)

cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne.

Conservazione del momento angolare

Esempio di conservazione del momento angolare

Il momento angolare di un sistema è costante nel tempo se è nullo il momento delle forze esterne che agiscono su di esso e il polo è o fisso o coincidente con il centro di massa. In questi casi si ha che:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=0$

Un esempio di conservazione del momento angolare è mostrato in figura, in cui si vede una persona seduta, isolata con un oggetto con una elevato momento angolare, se prova a cambiare la direzione del momento angolare con forze interna, a causa della conservazione del momento angolare, il supporto su cui si trova si mette a ruotare.

Un altro esempio è dato dal moto centrale in cui ad esempio nel moto della comete intorno al Sole, con una orbita ellittica molto schiacciata, la velocità è molto elevata nelle vicinanze del Sole e diminuisce grandemente quanto la cometa si allontana dal polo (il Sole).

Relazione tra momento delle forze, energia e potenza

Una forza esegue un lavoro spostando il suo punto di applicazione. In maniera analoga, se un momento di una forza fa eseguire a un punto materiale che compie una traiettoria circolare uno spostamento angolare portandolo da un angolo θ₁ ad uno θ₂, esegue un lavoro pari a:

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}|\tau |\ \mathrm {d} \theta$

attorno al centro di rotazione. La cosa appare chiara se il momento della forza che agisce è una coppia di forze, quindi con risultante nulla, e si ha una coppia di punti materiali ruotanti attorno ad un centro comune. Infatti è possibile dimostrare come l'aumento/diminuzione di energia cinetica sia proprio data da tale espressione.

La potenza è il lavoro fatto nell'unità di tempo e quindi se il momento della forza agente rimane costante si ha che:

$P={\vec {\tau }}\cdot {\vec {\omega }}\$

con una evidente analogia con la potenza di una forza.

Sistema di riferimento del centro di massa

Nella dinamica dei sistemi di punti materiali si definisce sistema di riferimento del centro di massa un sistema di riferimento con le seguenti caratteristiche:

• L'origine degli assi si trova nel centro di massa.
• Gli assi sono sempre paralleli rispetto a quelli di un sistema di riferimento inerziale.
• E' un sistema di riferimento inerziale solo se la risultante delle forze esterne è nulla.

Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto.

Se indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, avremo che per il generico elemento del sistema di punti materiali, la relazione tra le coordinate nel sistema inerziale e quella del centro di massa è data da:

${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}'_{i}+{\vec {r}}_{CM}$

Il pedice CM si riferisce al centro di massa.

Ma anche:

${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}'_{i}+{\vec {v}}_{CM}$

Ovviamente ${\vec {r}}'_{CM}=0$ e ${\vec {v}}'_{CM}=0$ Quindi essendo l'espressione della velocità del centro di massa (l'espressione è valida in qualsiasi sistema di riferimento):

${\vec {v}}'_{CM}={\frac {\sum m_{i}{\vec {v}}'_{i}}{\sum m_{i}}}$

Di conseguenza:

$\sum m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0$

Quindi la quantità di moto totale è nulla nel sistema di riferimento del centro di massa, anche se le quantità di moto dei singoli elementi $m_{i}{\vec {v}}'_{i}$ sono in generale diversi da 0.

L'energia totale del sistema di riferimento del centro di massa sempre minore rispetto a quella di qualunque altro sistema di riferimento inerziale essendo ${\vec {v}}'_{CM}=0$.

Dimostrazione

Consideriamo un sistema inerziale qualsiasi e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica nel sistema inerziale è dato da:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\sum m_{i}({\vec {v}}'_{i}+{\vec {v}}_{CM})^{2}={\frac {1}{2}}\sum m_{i}{v'_{i}}^{2}+{\frac {1}{2}}v_{CM}^{2}\sum m_{i}+{\vec {v}}_{CM}\cdot \sum m_{i}{\vec {v}}'_{i}$

L'ultimo termine è nullo essendo la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa. Quindi la relazione in forma più compatta è:

$E_{k}=E'_{k}+E_{kCM}$

Avendo definito l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa $E_{kCM}={\frac {1}{2}}v_{c}^{2}\sum m_{i}$, .

Quindi:

$E'_{k}=E_{k}-E_{kCM}$

Essendo $E_{kCM}\geq 0$ si ha che sempre $E'_{k}\leq E_{k}$ come si voleva dimostrare.

Per quanto riguarda i momenti delle forze, solo le forze esterne danno un contributo al momento delle forze. Inoltre la seconda equazione cardinale diviene semplicemente:

${\frac {d{\vec {L}}'}{dt}}={\vec {\tau }}'^{est}$

Teoremi di König

Tali teoremi permettono di separare nel moto dei sistemi di particelle la parte del moto che è dovuta al movimento del centro di massa e quella rispetto al sistema di riferimento del centro di massa. La parte del moto dovuta al movimento del centro di massa può essere modificata solo da forze e momenti esterni. Il concetto di sistema di riferimento del centro di massa, in genere non inerziale, viene messo in relazione con un sistema di riferimento inerziale. Il primo di questi teoremi riguarda il momento angolare ed il secondo l'energia cinetica .

Primo teorema di König

Il primo teorema di König, dovuto a J. S. König, afferma che il momento angolare di un sistema qualsiasi è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento angolare del sistema di riferimento del centro di massa.

La dimostrazione parte dalla definizione di momento angolare totale di un sistema di punti, che è la somma dei momenti angolari di ogni suo componente:

${\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}$

Poiché il vettore che descrive la posizione di ogni punto può essere scritto come la somma della posizione del centro di massa e la posizione del punto rispetto al centro di massa:

${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CM}+{\vec {r}}_{i}^{\ '}$

ed analogamente:

${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{\ '}$

si ottiene:

${\bar {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{CM}+{\vec {r}}_{i}^{\ '})\times m_{i}({\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{\ '})$

Esplicitando la relazione:

${\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}^{\ '}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}^{\ '}+\left(\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{\ '}\right)\times {\vec {v}}_{CM}+{\vec {r}}_{CM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{\ '}+\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{CM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CM}$

Il secondo e il terzo termine sono entrambi nulli per definizione di centro di massa, cioè:

$\sum m_{i}{\bar {r}}_{i}^{\ '}=0$

$\sum m_{i}{\bar {v}}_{i}^{\ '}=0$

Rimangono solo il primo termine che rappresenta il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e il quarto che rappresenta il momento angolare del centro di massa:

${\bar {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}^{\ '}\times m_{i}{\vec {v}}_{i}^{\ '}+M{\vec {r}}_{CM}\times {\bar {v}}_{CM}$

(10)

Nel secondo termine al secondo membro la massa è pari a quella totale del sistema.

Quindi il momento angolare totale di un sistema in un sistema di riferimento inerziale è pari alla somma del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e a quello dovuto al moto del centro di massa..

Secondo teorema di König

Analogamente riprendendo l'espressione della velocità dei singoli punti:

$E_{k}=\sum \limits _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum \limits _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{\ '})^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{CM}^{2}+(\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{\ '})\cdot {\vec {v}}_{CM}+\sum \limits _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}^{\ '}}^{2}$

Il secondo termine è nullo per cui se definiamo, l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa con:

$E_{k,CM}={\frac {1}{2}}M{\vec {v}}_{CM}\!$

l'energia cinetica dei vari elementi del sistema rispetto al centro di massa con:

$E_{k}^{\ '}=\sum \limits _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\vec {v_{i}^{\ '}}}^{2}\!$

Possiamo scrivere in forma compatta:

$E_{k}=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '}\,\!$

(11)

ovvero che l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso.

Energia cinetica

Come abbiamo visto in precedenza all'inizio del modulo l'energia cinetica è data dalla somma delle energie cinetiche dei punti costituenti il sistema.

Sappiamo però che l'energia cinetica è legata al lavoro tramite la relazione $W=\Delta E_{k}\,\!$ ma nel caso di più punti materiali il lavoro viene fatto dalle forze esterne ed anche da quelle interne se vi è una variazione delle posizioni reciproche dei corpi e quindi l'espressione generale diventa

$W^{est}+W^{int}=\Delta E_{k}\,\!$

(12)

dove $\Delta E_{k}\,\!$ è l'energia cinetica totale.

Vale anche per il sistema di punti che, nel caso le forze interne e le forze esterne siano conservative si ha una conservazione dell'energia cinetica totale con:

$W=\Delta (E_{k}+E_{p})=\Delta E_{M}=costante\,\!$.

Anche in questo caso se una delle due risultanti delle esterne od interne non è conservativa il lavoro è espresso dall'espressione:

$W_{nc}=\Delta E_{m}\,\!$.

Bibliografia

• P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica), 2ª ed., ISBN 978-88-7959-418-9, Edises, 2007.

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