Fisica classica/Induzione e Legge di Faraday

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Argomento precedente: Magnetismo della materia

Questa legge ha rappresentato la vera svolta dell'elettromagnetismo nello sviluppo della società industriale e indica il legame forte esistente tra campi elettrici e magnetici. Per descriverla con compiutezza bisogna fare delle premesse basate su quanto già detto in precedenza.

Il flusso di induzione magnetica attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre eguale a zero, in quanto non vi sono monopoli magnetici. Possiamo quindi considerare una qualsiasi linea chiusa dello spazio e associare ad essa una superfice che abbia tale linea come contorno, il flusso attraverso tale superfice è lo stesso qualsiasi superfice si consideri. Un circuito composto da $N\$ spire ha come contorno una linea chiusa dello spazio, ma in realtà il flusso del campo di induzione magnetica è $N\$ volte il flusso associato alla linea chiusa considerato: tale flusso viene chiamato flusso concatenato al circuito considerato.

Si deve a Faraday nel 1831 la scoperta che se si ha una variazione nel tempo del flusso flusso magnetico concatenato con un circuito $\Phi_B\$ si ha una f.e.m. secondo la relazione algebrica:

$f.e.m. = - {{\partial\Phi_B} \over \partial t}$ .

Nel seguito precisiamo il significato di questa legge di valore fondamentale. Il segno meno che viene in genere chiamata legge di Lentz viene precisato nel seguito.

Vari esempi possono essere dati per illustrare quando si verfica una condizione di questo tipo. Tradizionalmente si possono raggruppare i vari casi possibili in varie categorie:

Indice

1 Due circuiti accoppiati senza parti in movimento
2 Un circuito fisso in un campo magnetico in moto
3 Un circuito in moto in un campo magnetico fisso
4 Un circuito di dimensioni variabili in un campo magnetico
5 Legge di Lenz
6 L'alternatore
7 Induttanza
8 Mutua induttanza
9 Cenno sui circuiti magnetici
10 Transitori induttivi

[modifica] Due circuiti accoppiati senza parti in movimento

Il circuito 1 si trova nelle vicinanze del circuito 2 nel quale scorre una corrente variabile nel tempo e quindi genera un campo di induzione magnetica variabile nel tempo. Il flusso quindi concatenato con il circuito 1 varia del tempo e quindi si sviluppa in esso una corrente elettrica come conseguenza della f.e.m. indotta la cui intensità dipende dalla legge di Faraday. La corrente circolerà nel circuito 1 in maniera da contrastare l'azione esterna quindi se il flusso aumenta tenderà a far circolare una corrente che attenui tale aumento, mentre se il flusso diminuisce tenderà a lasciare invariato il flusso precedente. Notiamo che in questo caso non si abbia niente in moto e quindi la legge di Faraday rappresenta una assoluta novità.

Nell'esempio di un solenoide con una spira viene chiarito questo caso generale.

[modifica] Un circuito fisso in un campo magnetico in moto

Immaginiamo di avere un circuito fisso nello spazio ed una sorgente di campo magnetico che si muova rispetto al circuito. Il moto della sorgente immaginiamolo per semplificare la cosa, rettilineo e uniforme. In questo caso ipotizziamo che la sorgente generi un campo non uniforme spazialmente. Il flusso concatenato con il circuito varierà nel tempo e pure in questo caso si ha una f.e.m. indotta.

Il caso più banale è quello di un solenoide in moto rettilineo uniforme sopra una bobina ferma su un suo bordo. Quando il bordo del solenoide attraversa la sezione della bobina il flusso concatenato nella bobina aumenta e viene indotta una corrente nella bobina che contrasta l'aumento del campo. Quando la bobina si trova completamente immersa nel campo del solenoide nessuna corrente viene più indotta (in quanto il flusso concatenato non varia più). Infine quando il bordo riattraversa la sezione del solenoide il flusso concatenato nella bobina diminuisce e si genera una corrente di segno opposto al caso precedente nella bobina per contrastare tale variazione del flusso. La stessa cosa si ottiene con un magnete permanente, che genera un campo non uniforme, che si muova rispetto ad una bobina.

Il fatto che il moto sia rettilineo non ha nessuna rilevanza, infatti la stessa cosa l'avremmo anche nel caso di sorgente in moto rotatorio, anzi in questo caso anche una sorgente che sia uniforme spazialmente genererà nella bobina una f.e.m. indotta.

Negli esempi di una spira in un campo magnetico ruotante,spira all'interno di un solenoide si ha una idea particolare di questo caso generale.

[modifica] Un circuito in moto in un campo magnetico fisso

Immaginiamo di avere una sorgente fissa di campo magnetico ed un circuito che si muova rispetto al campo non uniforme. Il moto del circuito lo supponiamo per semplificare la cosa, rettilineo e uniforme. Come si vede è il caso simmetrico rispetto a quello indicato prima: ma dal punto di vista della meccanica classica del tutto equivalente. Infatti entrambi i sistemi sono inerziali e chi si muove rispetto all'altro non cambia. In ogni caso in questo caso la forza di Lorentz giustifica l'apparire di una f.e.m.

Infatti se supponiamo il circuito quadrato di lato $a\$ ed il campo perpendicolare al piano del circuito ed in moto con due lati paralleli alla direzione del moto. Nei due lati perpendicolari alla direnìzione del moto a causa della non uniformità del campo di induzione magnetica si genererà una f.e.m. oppostama non eguale e quindi tale differenza è la cuasa della f.e.m. indotta.

Analogamento nell'esempio di una spira in un campo magnetico ruotante se facciamo ruotare la spira invece del campo le equazioni rimangono le stesse come il risultato finale, solo che in questo caso la legge di Faraday si identifica con la Forza di Loretz.

[modifica] Un circuito di dimensioni variabili in un campo magnetico

A causa del fatto che uno o più lati del circuito si muovano, si ha che sulle cariche libere di tali lati agisce la forza di Lorentz mutuamente perpendicolare sia al campo che alla direzione del moto; tale forza genera una f.e.m.. Quindi anche in questo caso la legge di Faraday non aggiunge niente rispetto alle leggi del magnetismo. Ma è più facile anche in questo caso trattare il problema, senza fare distinzioni, mediante la legge di Faraday. Questo approccio è seguito nell'esercizio di una sbarretta metallica.

[modifica] Legge di Lenz

Il verso delle correnti indotte è tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito. Tale legge giustifica fisicamente il segno meno che compare nella legge di Faraday. Infatti la f.e.m. indotta dalla variazione del flusso concatenato è tale da opporsi alla causa che lo ha generato, in maniera che se il flusso magnetico esterno aumenta la corrente circolante tende a rallentare tale incremento, mentre se diminuisce la corrente circolante tende a lasciare immutato il campo magnetico iniziale.

La legge è ovviamente in accordo con la conservazione dell'energia, se infatti la legge fosse per assurdo di segno opposto, una piccola variazione del flusso concatenato produrrebbe una maggiore variazione con un effetto moltiplicativo che violerebbe la conservazione della'energia.

[modifica] L'alternatore

Questa è l'applicazione più importante per lo sviluppo della società industriale della legge di Faraday. Supponiamo di avere una bobina rettangolare realizzata con $N\$ spire (i ragionamenti in realtà non dipendono dalla forma, ma per semplificazione usiamo la forma rettangolare) fatta ruotare lungo un asse passante per il suo centro e parallelo ai lati. Se la bobina si trova in un campo di induzione magnetica uniforme $\vec B\$ perpendicolare all'asse di rotazione, così come mostrato in figura.

Lo schema di un alternatore: una spira quadrata ruotante in un campo magnetico fisso

Immaginiamo, inoltre che la bobina sia chiusa su un carico esterno (ad esempio una resistenza) per mezzo di un qualche contatto strisciante. A causa della rotazione della bobina, il flusso attraverso di essa varierà in funzione del tempo. Quindi nella bobina si genererà una f.e.m. Se l'area della bobina è $S\$ , e $\theta\$ l'angolo compreso tra la normale ( $\vec n\$ ) alla bobina e la direzione del campo di induzione magnetica ( $\vec B\$ ), il flusso di induzione magnetica concatenato con le $N\$ spire della bobina vale:

$\Phi_c(B)=N\vec B\cdot \vec S=N|B|S\cos \theta\$

Se mediante un qualsiasi mezzo propulsivo, la bobina viene mantenuta in rotazione con velocità angolare $\omega\$ costante allora:

$\theta=\omega t\$

Applicando la legge di Faraday:

$f.e.m=N|B|S\omega \sin \omega t\$

Cioè ai morsetti del carico vi è una d.d.p. che varia con legge sinusoidale nel tempo: questo dispositivo si chiama alternatore o generatore di corrente alternata. Se l'attrito è trascurabile l'energia meccanica utilizzata per mantenere in rotazione a velocità angolare fissa viene integralmente trasformata in energia elettrica dissipata dal carico. Quindi l'alternatore rappresenta il metodo più usato per trasformare energia meccanica in energia elettrica, in corrente alternata, che è comoda da trasportare su grandi distanze. La corrente che circola nel carico è semplicemente eguale a:

$I=\frac {N|B|S\omega }R\sin \omega t\$

Nel fare tale ragionamento si è trascurata una proprietà della bobina che viene definita nel seguito: la sua induttanza.

Studiamo il bilancio energetico di un sistema di questo genera che produce istantaneamente una potenza elettrica pari a:

$P_e=f.e.m.I=\frac {N^2B^2S^2}R\omega \sin^2 \omega t\$

Per mantenere in rotazione a velocità costante in tale campo magnetico la spira bisogna esercitare una coppia di momento pari a:

$\vec M=\vec m \times \vec B\$

Che in questo caso specifico, proiettandolo sull'asse $z\$ di rotazione, vale:

$M_z=NIBS\sin \omega t\$

La potenza meccanica, fornita, si ricava da quanto visto nella meccanica dei corpi rigidi, e vale:

$P_m=M_z\omega\$

Sostituendo l'espressione di $I\$ in $M_z\$ segue che:

$P_m=\frac {N^2B^2S^2}R\omega \sin^2 \omega t\$

Cioè in assenza di attrito tutta l'energia meccanica viene trasferita in energia elettrica. Le centrali elettriche ma anche semplicemente i generatori interni delle automobili producono energia elettrica mediante tale meccanismo di conversione diretta di energia meccanica in energia elettrica.

[modifica] Induttanza

Il flusso concatenato con un circuito e la corrente che in esso circola sono direttamente proporzionali: la costante di proporzionalità viene chiamata induttanza del circuito:

$L=\frac {\Phi_c(B)}I \$

Il simbolo di una induttanza

'E una grandezza puramente geometrica connessa con l'area racchiusa da un circuito ed il campo magnetico generato nel complesso quando in detto circuito scorre una corrente elettrica. Il simbolo dell'induttanza è mostrato di lato. Le dimensioni fisiche dell'induttanza sono quelle del rapporto tra un flusso magnetico e una corrente, nel SI si misura in Henry ( $H\$ )

$[L]=\frac {[B][l^2]}{[I]}=[T][m]^2[A]^{-1}=[H]\$

Il simbolo ricorda vagamente la forma di un solenoide, e in particolare nel caso di solenoidi sufficientemente lunghi, è facile calcolare l'induttanza. Infatti essendo il flusso concatenato di un solenoide di lunghezza $l\$ , di raggio $r\$ e con $N\$ spire, in cui scorre una corrente $I\$ :

$\Phi_c{B}=N\mu_{\circ} \frac NlI\pi r^2 \$

quindi:

$L_{solenoide}=\mu_{\circ}\frac {N^2}l\pi r^2\$

Il calcolo dell'induttanza per circuiti abbastanza semplici non è in genere facile. Come regola generale se il circuito è fatto di $N\$ spire che si sovrappongono bene l'induttanza cresce con $N^2\$ . Quindi per bobine semplici di superficie $S\$ semplice l'induttanza è circa eguale a:

$L\approx \mu_{\circ}N^2\sqrt S\$

La presenza di materiali ferromagnetici aumenta l'induttanza di molti ordini di grandezza: è facile costruire induttanze di molti Henry.

La permeabilità magnetica del vuoto di cui avevamo dato le dimensioni fisiche a partire dalla formula del campo di induzione magnetica prodotta da un filo rettilineo. La sue unità di misura nel sistema SI divengono adesso:

$\mu_{\circ}=4\pi \times 10^{-7}\ H/m\$

Per geometrie semplici l'induttanza cresce linearmente con le dimensioni lineari e per spire estremamente vicine con il quadrato del numero delle spire.

[modifica] Mutua induttanza

Dati due circuiti chiaramente il flusso magnetico dell'uno si concatenerà con l'altro. Il rapporto tra il flusso concatenato su di uno e la corrente che scorre sull'altro viene chiamata mutua induzione.

$M=M_{12}=\frac {\Phi_{c1}}{I_2}=M_{21}=\frac {\Phi_{c2}}{I_1}\$

Notiamo come la mutua induzione gode della proprietà di reciprocità, cioè la mutua induzione di un primo circuito rispetto ad un secondo è pari alla mutua induzione del secondo sul primo. La dimostrazione si può fare in maniera rigorosa ma richiede l'introduzione di una grandezza fisica non introdotta: il potenziale vettore. A causa quindi della reciprocità si ha che:

$M=M_{12}=M_{21}\$

A partire dalla definizione analitica si ha anche che:

$M=k\sqrt{L_1L_2}\$

Definendo $0\le k\le 1\$ la costante di accoppiamento tra i due circuiti.

Due esempi: Mutua induzione tra due spire quadrate , Due spire chiariscono i concetti espressi.

[modifica] Cenno sui circuiti magnetici

In un toro di materiale ferromagnetico di sezione costante $S\$ e lunghezza media $l\$ con permeabilità magnetica $\mu_r\$ su cui sono avvolte $N\$ spire tutto il flusso rimane confinato nell'interno del toro ed utilizzando il teorema della circuitazione di Ampere, si trova che il campo di induzione magnetica vale all'interno del toro:

$B=\mu_o\mu_r \frac {NI}l\$

e di conseguenza l'induttanza vale:

$L=\mu_o \mu_r N^2 \frac Sl\$

Se i circuiti avvolti sono due con $N_1\$ ed $N_2\$ spire, l'accoppiamento tra i circuiti è il massimo possibile e di conseguenza la mutua induzione vale:

$M=\mu_o \mu_r N_1N_2 \frac Sl\$

I circuiti di questo tipo sono alla base di quelli che vengono chiamati i trasformatori.

[modifica] Transitori induttivi

Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza

L'introduzione dell'induttanza ci permette di calcolare la f.e.m. indotta da variazioni di flusso concatenate con circuiti percorsi da corrente elettrica variabile nel tempo. Immaginiamo di avere un generatore di f.e.m che viene connesso ad una resistenza in serie con una induttanza mediante l'interruttore mostrato in figura. La legge di Faraday si riduce nel caso di una induttanza all'espressione:

$f_a=-\frac {d\Phi_c(B)}{dt}=-L\frac {dI}{dt}\$

Dove il pedice $a\$ sta a indicare che si tratta di forza elettromotrice autoindotta che tende a impedire le variazioni di correnti al suo interno.

Nel caso specifico abbiamo introdotto una resistenza $R\$ in serie che tiene conto della eventuale resistenza interna del generatore, dell'induttanza (sono entrambe in serie) o una resistenza esterna.

L'equazione della maglia nel tempo del circuito deve tenere conto che agisce non solo il generatore di forza elettromotrice $f\$ , ma anche la forza elettromotrice autoindotta $f_a\$ :

$f+f_a=RI\$

Sostituendo i vari termini:

$RI=f-L\frac {dI}{dt}\$

da cui separando le variabili

$\frac {dI}{I-f/R}=-\frac RL dt\$

definendo $\tau=L/R\$ , e integrando tra il tempo $t=0\$ in cui la corrente è nulla ed il tempo generico segue che:

$\ln \frac {I(t)-f/R}{-f/R}=-\frac t{\tau}\$

che diventa:

$I=\frac fR(1-e^{-t/\tau})\$

Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza con in parallelo una resistenza grande

Il significato della equazione è che a causa della $f_a\$ in un circuito la corrente non raggiunge istantaneamente il valore $f/R\$ , ma si avvicina asintoticamente con una costante di tempo $L/R\$ .

Il termine $-L\frac {dI}{dt}\$ dovuto alla legge di Faraday, viene nella maggior parte dei casi considerato una ulteriore d.d.p. e quindi aggiunta con il segno opposto dall'altro lato della equazione. Questo approccio verrà seguito nel seguito, anche se porta a qualche contraddizione.

Per far vedere il caso opposto, e rendere l'esempio fisicamente credibile dobbiamo considerare un caso sostanzialmente simile a quello descritto illustrato nella figura a fianco. Immaginiamo grande la resistenza in parallelo all'induttanza (questo significa $\alpha\gg 1$ . Secondo questa ipotesi il sistema non è molto differente dal precendente, infatti ai capi dell'induttanza il circuito è equivalente utilizzando Teorema di Thevenin, e considerando che $\alpha\gg 1$ a:

$R_{th}=R\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx R\$

$f_{th}=f\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx f\$

Quindi se partiamo dalla condizione iniziale illustrata con l'interruttore chiuso (avendo aspettato un tempo sufficientemente lungo), la corrente che inizialmente scorre nell'induttanza diviene:

$I_o\approx \frac fR\$