Fisica classica/Le leggi di Kirchhoff

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Argomento precedente: Elettrodinamica

Indice

[modifica] Generatori di f.e.m

Disegno schematico di un generatore di f.e.m. con una resistenza

Per potere far circolare della corrente elettrica (in maniera permanente) in un circuito elettrico é necessario di avere a disposizione forze non elettriche che spostino le cariche. Tali forze devono opporsi alle forze elettriche ed essere in grado di accumulare le cariche elettriche di segno opposto in particolari zone dello spazio (che in seguito chiamerò i morsetti del generatore di f.e.m). Se le zone dello spazio dove si accumulano le cariche elettriche sono connesse tra di loro tramite circuiti elettrici, le forze elettriche tenderanno a riequilibrare la distribuzione delle cariche, tramite spostamento di cariche e quindi generando un corrente elettrica.

La corrente elettrica circolante nel circuito sarà eguale a quella prodotta dalle forze non elettriche nel generare la separazione di cariche.

Se invece le zone non sono elettricamente connesse la situazione di equilibrio viene raggiunta quando le forze elettriche che nascono dalla separazione delle cariche si bilanciano esattamente con le forze non elettriche che spostano le cariche. Tali forze si possono immaginare generate da un campo di forze, definito come il campo elettrico, cioè per unità di carica, detto campo elettromotore(tale campo è in genere non conservativo, ma questo non influenza la definizione in quanto interessa solo l'integrale di linea da un morsetto all'altro all'interno del dispositivo).

Un qualsiasi dispositivo di questo genere si chiama generatore di f.e.m.: è in realtà un dispositivo attivo che converte energia di natura non elettrica (chimica per le batterie e le celle a combustibile, solare per le celle solari, meccanica per le dinamo o gli alternatori ecc.) in energia elettrica.

Il più semplice circuito che si può immaginare è costituito da un generatore di f.e.m (una batteria ad esempio) tra i cui morsetti é posta una resistenza R\ come indicato in alto e in maniera schematica in basso. In tale figura è anche mostrato il simbolo di un generatore di f.e.m. Il generatore genera una d.d.p. V_A-V_B\ , ai capi della resistenza R\ , in questa circola una corrente I\ in senso orario (se invertissi i morsetti sarebbe in senso antiorario) e valendo la legge di Ohm posso scrivere:

V_A-V_B=IR\

(1)
Disegno schematico di un generatore reale di f.e.m. con una resistenza interna

L'integrale di linea del campo elettromotore (forza di natura non elettrica) tra i due morsetti viene chiamata forza elettromotrice del generatore, spesso rappresentata con f\ , e ha le dimensioni di un lavoro per unità di carica, quindi nel SI si misura in V\ (Volts). Un generatore di forza elettromotrice è caratterizzato dalla sua d.d.p. a morsetti aperti (non connessi a nessun circuito). Il generatore é connesso ad un circuito esterno che può essere una semplice resistenza o qualcosa di più complicato: che viene indicato con il nome generico di carico.

Non si possono trascurare i fenomeni dissipativi elettrici all'interno del generatore, come anche il fatto che non possa essere generata una corrente troppo grande; questo fatto in maniera empirica viene rappresentato con una resistenza in serie interna al generatore chiamata appunto resistenza interna. Quindi un generatore reale viene rappresentato come nella figura a fianco. Quindi dato un generatore di f.e.m. f\ e resistenza interna r\ collegato ad un carico semplice costituito da una semplice resistenza elettrica R\ la corrente circolante sarà:

I=\frac f{R+r}\

(2)

Ovviamente se R\gg r\ l'effetto della resistenza interna è trascurabile. Il funzionamento interno di un generatore di f.e.m. solo idealmente è rappresentabile nel modo indicato.

Ad esempio in una batteria reale la f\ diminuisce via via che la batteria eroga corrente ed aumenta la sua resistenza interna. In ogni caso a meno che la sorgente non abbia limiti (come una batteria ricaricabile che venga continuamente ricaricata) un generatore é caratterizzato anche dalla sua capacità di carica: cioè la carica in essa contenuta quando é perfettamente carica. Per tale capacità l'unità di misura nel sistema SI è il Coulomb, nella pratica, di uso commerciale, si usa l'ampere ora (un'unità di misura non SI 3600 volte più grande del Coulomb).


Le batterie ricaricabili sono dei sistemi più complessi che presentano anche isteresi, per cui la capacità dipende dal meccanismo di carica e scarica: tale fenomeno va sotto il nome di memoria delle batterie (le batterie ricaricabili al NiCd vengono sostituite in questi anni da altri tipi di batteria proprio a causa di tale comportamento indesiderato).

[modifica] La seconda legge di Kirchhoff

Elementi circuitali passivi, come le resistenze e le capacità, o attivi, come i generatori di f.e.m., possono essere connessi insieme formando circuiti complessi dette reti elettriche (esistono altri elementi circuitali passivi le induttanze che vedremo in seguito e altri elementi passivi o attivi che vengono studiati in corsi di elettronica).

La prima legge di Kirchhoff la abbiamo già vista ed è conseguenza della conservazione carica. Si definisce maglia un circuito chiuso partendo da un punto della rete e ritornando in esso seguendo un percorso attraverso due elementi della rete.

La seconda regola di Kirchhoff stabilisce che se in una maglia vi sono N\ generatori di forza elettromotrice f_i\ ed M\ resistenze R_i\ nei quali circola una corrente I_i\ è possibile scrivere:

\sum_{1=1}^N f_i=\sum_{1=1}^M R_iI_i\

(3)

Per ogni maglia è possibile scrivere tale equazione (se sono presenti soltanto generatori di f.e.m. e resistenze). Notare come in ogni ramo (una sezione di una maglia tra due nodi) scorra sempre la stessa corrente a causa della conservazione della carica. Le regole di Kirchhoff consentono di scrivere apparentemente un numero di equazioni superiori alle incognite, in realtà si dimostra che le equazioni indipendenti sono pari al numero delle incognite. Le regole di Kirchhoff si estendono alle maglie in cui sono presenti condensatori, infatti anche per i condensatori vale la legge di continuità della corrente.

[modifica] Teorema di Thevenin

Un dipolo attivo costituito da resistenze e generatori di f.e.m.


Dalle leggi di Kirchhoff segue il teorema Thevenin utile nella pratica del calcolo dei circuiti elettrici.

Il Teorema di Thevenin afferma che qualunque rete lineare attiva, facente capo a due terminal AB\ , si comporta, nei riguardi del carico su cui è chiusa, in modo del tutto equivalente ad un generatore di opportuna f.e.m ed una opportuna resistenza interna

Consideriamo una rete elettrica comunque complessa, costituita da generatori di f.e.m. e resistenze (variamente collegati tra di loro). Supponiamo di inserire tra due punti qualunque A\ e B\ della rete un qualunque elemento circuitale (chiamiamo tale elemento circuitale, esterno alla rete, carico).

Tale sistema é schematizzato in figura, in cui il blocco rettangolare contenente i simboli della resistenza e del generatore di f.e.m. rappresenta la rete in esame, di cui sono lasciati in evidenza solo i punti A\ e B\ ed il carico L\ (che può essere una resistenza, un condensatore, una induttanza, un generatore di f.e.m, un elemento attivo quale i transistor eccetera, oppure una combinazione qualunque di tali elementi).

Una rete così fatta è chiamata bipolo attivo ed i punti A\ e B\ sono i morsetti del bipolo attivo.

Un dipolo attivo costituito da resistenze e generatori di f.e.m.

Il teorema di Thevenin afferma che qualunque bipolo attivo si comporta nei riguardi del carico su cui è chiuso in modo del tutto equivalente ad un generatore di tensione avente opportuna f.e.m. ed opportuna resistenza interna. Risulta cioè che agli effetti della tensione ai capi del carico e della corrente che lo attraversa, il bipolo attivo, comunque complesso, é equivalente ad un generatore di tensione f_{th}\ ed una resistenza in serie R_{th}\ ad esso. f_{th}\ non é altro che la d.d.p. che si presenta ai capi del bipolo attivo, quando non è chiuso sul carico. R_{th}\ invece è la resistenza vista dai morsetti A\ e B\ del dipolo attivo, quando in esso tutti i generatori sono stati soppressi e sostituiti dalle loro resistenze interne (o se sono trascurabili da un corto circuito).

[modifica] Generatori di f.e.m. in serie e in parallelo

Dal teorema di Thevenin si dimostra facilmente che se ho n\ generatori di f.e.m. f_i\ in serie con una resistenza interna r_i\ é equivalente ad avere un unico generatore di f.e.m. con:

f_e=\sum_{i=1}^n f_i\

e resistenza interna:

r_e=\sum_{i=1}^n r_i\

Sempre dal teorema di Thevenin, per quanto riguarda il parallelo di due soli generatori (f_1\ , r_1\ , f_2\ , r_2\ ) (si generalizza facilmente il caso a n\ generatori) che siano disposti con i morsetti concordi si dimostra il sistema equivale ad un generatore di:

f_e=f_1-\frac {f_1-f_2}{r_1+r_2}r_1\

r_e=\frac {r_1r_2}{r_1+r_2}\

Alcuni esempi sono di aiuto per comprendere quanto detto: Resistenze serie e parallelo, due maglie, tre maglie,carica di un telefonino,due generatori reali su un carico variabile.


[modifica] Carica e scarica dei condensatori

[modifica] Scarica

Carica e scarica di un condensatore

Immaginiamo di avere un condensatore carico con una carica iniziale Q_o\ (positiva sulla armatura superiore) e al tempo t=0\ mettiamo in contatto le due armature cariche attraverso la resistenza R\ (indicato simbolicamente nella figura dall'interruttore che connette i punti più a destra). Ad ogni istante la carica presente sulla armatura positiva sarà Q(t)\ ed un corrente I(t)\ scorrerà nella resistenza R\ , ma dovendo essere nulla la circuitazione del campo elettrico nella maglia costituita dai due elementi circuitali detti le differenze di potenziale ai loro capi devono essere eguali istante per istante:

\frac {Q(t)}C=I(t)R\

Avendo scelto come verso della corrente il senso contro orario (dal potenziale maggiore l'armatura superiore a quello inferiore). La derivata cambiata di segno della carica istantanea è pari a tale corrente, omettendo per semplicità la dipendenza dal tempo:

I=-\frac {dQ}{dt}\

Quindi l'equazione della maglia diventa

\frac {Q(t)}C=-R\frac {dQ}{dt}\

Separando le variabili:

\frac {dQ}Q=-\frac {dt}{RC}\

Se definiamo la costante di tempo :RC=\tau\ e integriamo dall'istante iniziale al tempo generico t'\ , quando la carica ha un valore Q'\ :

\int_{Q_o}^{Q'}\frac {dQ}Q=-\int_0^{t'}\frac {dt}{RC}\

Q'=Q_oe^{-t'/\tau }\

cambiando di nome alle variabili mute:

Q(t)=Q_oe^{-t/\tau }\

La costante di tempo, data dal prodotto della resistenza per la capacità, determina la velocità con cui si scarica il condensatore la cui carica diminuisce con legge esponenziale, chiaramente la tensione ai capi del condensatore V_C\ diminuisce anche essa esponenzialmente nel tempo:

V_C(t)=\frac {Q_o}Ce^{-t/\tau }\

Come anche la corrente circolante nella maglia:

I=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau }=\frac {Q_o}{RC}e^{-t/\tau }\

Dal punto di vista del bilancio energetico, l'energia totale dissipata per effetto Joule, nella resistenza, è pari a:

E_d=\int_0^{\infty}I(t)^2Rdt=R\frac {Q_o^2}{(RC)^2}\int_0^{\infty}e^{-2t/RC }dt=\frac 12 \frac {Q_o^2}C \

Cioè tutta l'energia immagazzinata nel condensatore inizialmente viene dissipata per effetto Joule nella resistenza (rispettando la conservazione dell'energia).

[modifica] Carica

Il processo inverso corrisponde (fare sempre riferimento alla figura) al connettere un condensatore inizialmente scarico ad un generatore di forza elettromotrice. In questo caso il segno scelto per la corrente è quello orario e l'equazione della maglia è:

f=RI(t)+\frac {Q(t)}C\

In questo caso ovviamente la corrente è la semplice derivata della carica nel tempo:

I=\frac {dQ}{dt}\

Quindi l'equazione della maglia diventa:

f=R\frac {dQ}{dt}+\frac {Q(t)}C\

separando le variabili:

\frac {dQ}{Q-Cf}=-\frac {dt}{\tau }\

Che integrata:

\int_0^{Q'}\frac {dQ}{Q-Cf}=\int_0^{t'}-\frac {dt}{\tau }\

Q(t)=Cf\left(1-e^{-t/\tau} \right)\

Quindi la tensione ai capi del condensatore cresce con la stessa legge:

V_C(t)=f\left(1-e^{-t/\tau} \right)\

Mentre la corrente di carica sarà:

I=\frac {dQ}{dt}=\frac fRe^{-t/\tau}\

Dal punto di vista del bilancio energetico, il sistema non è isolato e quindi mentre l'energia totale fornita dal generatore di f.e.m. vale:

E_f=\int_0^{\infty}fI(t)dt=\frac {f^2}R\int_0^{\infty}e^{-t/\tau}dt=\frac {f^2}C\

L'energia immagazzinata nel condesatore vale come già visto:

E_c=\frac {f^2}{2C}\

Che è la metà di quella fornita dal generatore in quanto il resto dell'energia viene dissipata per effetto Joule nella resistenza, infatti:

E_d=\int_0^{\infty}I(t)^2Rdt=R\frac {f^2}{R^2}\int_0^{\infty}e^{-2t/RC }dt=\frac {f^2}{2C}\

Riepilogando la carica e la scarica di un condensatore sono fenomeni che si svolgono in un tempo determinato dalla costante di tempo del circuito. Il condensatore nel processo di carica si comporta come una resistenza variabile nulla nell'istante iniziale e sempre maggiore via via che viene caricato. Nel processo di scarica si comporta come un generatore di f.e.m. variabile con f.e.m. iniziale eguale alla carica iniziale divisa la capacità.

Alcuni esempi: connessione di un condensatore carico ad uno scarico, carica di un condensatore, carica di un condensore con generatore reale, carica di un condensatore con due resistenze nel circuito, scarica di un condensatore con due resistenze, due condensatori con una resistenza tra di loro.

Argomento seguente: Campi magnetici

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff"
Strumenti personali