Fisica classica/Legge di Gauss

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Indice

[modifica] Introduzione al teorema di Gauss

Calcolare il campo generato da una distribuzione qualsiasi di carica può essere molto laborioso, anche se da un punto di vista concettuale è semplice. Infatti basta suddividere le cariche sorgenti in piccoli elementi e calcolare il campo risultante. Tale esemplificazione è sempre possibile in condizioni statiche. Il teorema di Gauss che vale non solo per il campo elettrico, ma anche per quello gravitazionale, permette di determinare nel caso di situazioni di particolare simmetria il valore del campo.

[modifica] Flusso di un campo vettoriale

Dato un campo vettoriale \vec A\ ed un generico elemento infinitesimo di superfice ds\ , nello spazio in cui è definito \vec A\ , è possibile associare ad ognuno di tali elementi superficie una grandezza scalare:

d\Phi (\vec A)=ds \vec A \cdot \hat n\

che viene chiamata il flusso di \vec A\ attraverso la superfice ds\ , avendo definito con \hat n\ il versore normale alla superfice. Fino a quando la superficie è aperta vi è un' inderteminazione nella direzione dell'elemento di superficie. Se l'elemento di superfice fa invece parte di una superfice chiusa si assume per convenzione che la normale sia diretta nella direzione esterna alla superfice. Spesso si preferisce associare un campo vettoriale agli elementi di superfice definendo:

\vec {ds}=ds\hat n\

Quindi il flusso attraverso una qualsiasi superfice chiusa S\ del vettore \vec A\ è definito da:

\Phi (\vec A)=\int_S \vec A\cdot \vec {ds}\

Il concetto di flusso è derivato dall'idraulica, dove il flusso della velocità di un fluido attraverso una superficie è proporzionale alla portata, cioè la quantità di fluido che attraversa la sezione del condotto considerato. Se il fluido è incompressibile e la superficie attraverso cui si calcola la portata è chiusa il flusso è identicamente nullo, altrimenti la materia non si conserverebbe.

[modifica] Enunciazione del teorema di Gauss

L'enunciato del teorema di Gauss è che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari alla somma algebrica delle cariche interne diviso la costante dielettrica del vuoto :


\Phi_S(\vec E)=\frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{\varepsilon_o }\

Eventuali cariche all'esterno della superficie chiusa non portano alcun contributo al flusso di \vec E\ .

Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo tale che esistendo sorgenti puntiformi del campo stesso abbia una dipendenza in modulo proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Il teorema di Gauss può essere applicato al campo gravitazionale.

Somma algebrica significa che se all'interno della superficie la carica totale è nulla il flusso è nullo. Se la carica è positiva il flusso è positivo, se la somma delle cariche è negativa il flusso è negativo.

Se la distribuzione di cariche è continua ( densità di volume, superficiale o di linea) alla somma algebrica si sostituirà l'integrale.

La dimostrazione segue direttamente dalla legge di Coulomb, secondo cui ogni carica puntiforme Q_i\ genera un campo radiale che varia come 1/r_i^2\ (dove r_i\ è la distanza dalla carica stessa).

La scelta della forma della legge di Coulomb in cui artificialmente abbiamo introdotto come costante moltiplicativa 1/4\pi\ dipende dal fatto che con tale definizione la legge di Gauss in elettrostatica assume la forma semplice data dell'equazione appena data.

La legge di Gauss è di notevole importanza in quanto consente non solo di dedurre le cariche presenti una volta che si conosca il campo elettrico; ma anche, quando la situazione fisica è dotata di particolare simmetria, consente di calcolare il campo elettrico in maniera semplice.

[modifica] Dimostrazione del Teorema di Gauss

Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa

Consideriamo una carica puntiforme positiva all'interno di una superficie S\ dello spazio (in un punto qualsiasi all'interno). Il flusso elementare del campo elettrico vale:

d\Phi( \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS} = \frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\cdot \hat n dS=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {QdS_n}{r^2}

Dove dS_n\ è la proiezione dell'elemento di superficie \overrightarrow{dS} sulla sfera di raggio r\ e centro sulla carica Q\ .

L'estensione agli angoli nel piano sono gli angoli solidi. Si definisce angolo solido come rapporto tra l'elemento di superficie normale intercettato ed il quadrato della distanza:

d \Omega=\frac {dS_n}{r^2}\

L'integrale lungo tutte le direzioni possibili in 3 dimensioni di un angolo solido vale 4\pi\ .

Da questa considerazione segue che:

d\Phi( \overrightarrow{E})=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Qd\Omega


Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa rientrante

Per calcolare il flusso totale attraverso S\ basta integrare su tutta la superficie S\ . Cioè:

\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q \int_{4\pi } d\Omega= \frac Q{\varepsilon_o}

La superficie chiusa copre, intorno alla carica Q\ , l'intero angolo solido. Vediamo quindi che il flusso di \overrightarrow{E}\ non dipende dalla forma della superficie: se la superficie avesse delle rientranze tali rientranze verrebbero attraversato dal cono un numero dispari di volte e i vari contributi si eliderebbero due a due. Come appare nella figura a fianco.

Lo spostare la carica in un altro punto all'interno della superficie non cambierebbe in nessuna maniera il risultato. Se la carica all'interno fosse stata negativa il flusso sarebbe venuto negativo in quanto le linee del campo sarebbero dirette verso la carica negativa all'interno.

Se sono poste n\ cariche Q_i\ all'interno della superficie S\ potremo scrivere:

d\Phi( \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS} =\left(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{E_i}\right) \cdot \overrightarrow{dS}=\sum_{i=1}^n \left(E_i\cdot \overrightarrow{dS}\right)=\sum_{i=1}^n d\Phi_i

Abbiamo applicato il principio di sovrapposizione dei campi generati dalle singole cariche.

Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:

\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \int_S \sum_{i=1}^n d\Phi_i=\sum_{i=1}^n \int d\Phi_i= \sum_{i=1}^n \Phi_i=\frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{\varepsilon_o }

Consideriamo ora il caso di una carica Q\ esterna alla superficie S\ , così come in figura.

Una carica puntiforme all'esterno di una superficie chiusa rientrante

Il contributo al flusso degli elementi dS_1\ e dS_2\ è in modulo eguale, ma di segno opposto; quindi il loro contributo si può omettere, come quello di dS_3\ e dS_4\ . In generale, partendo dal punto O\ e andando in qualsiasi direzione la superficie chiusa, attraverso la quale si vuole calcolare il flusso del campo elettrico, viene intersecata sempre un numero pari di volte.

I contributi delle varie intersezioni si elidono sempre due a due. Quindi, comunque sia fatta tale superficie, si ha sempre:

\Phi_S(\vec E)=0\

Il teorema di Gauss è conseguenza diretta della legge di Coulomb, quindi non aggiunge niente rispetto a tale legge. Tale teorema permette di determinare le cariche presenti in una regione di spazio una volta che si conosca il campo elettrico. D'altro canto quando si hanno condizioni di simmetria permette di calcolare esattamente il valore del campo.

Se le cariche sono distribuite in maniera continua ad esempio con densità di carica \rho\ se chiamo T\ il volume racchiuso dalla superficie S\ e con d\tau\ indico l'elemento di volume:

\Phi_S(\vec E)=\int_S \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS}=\frac 1{\varepsilon_o}\int_T\rho d\tau

[modifica] Casi con particolari simmetria

Alcuni esempi mostrano l'applicazione del teorema di Gauss, in genere gli esempi sono classificati in funzione delle proprietà di simmetria. La simmetria sferica è quella che permette maggior numero di esempi: nuvola sferica, guscio sferico, guscio con foro, campo elettrico sulla terra. Possono essere fatti altri esempi di simmetria cilindrica, due esempi con simettria piana: doppio strato, giunzione p-n.

[modifica] Il teorema di Gauss in forma differenziale

Spesso tale teorema in forma locale viene chiamata la prima equazione di Maxwell. Notiamo come tale espressione locale sia soggetta a delle limitazioni al contrario della forma integrale appena data. La dimostrazione si basa su un teorema di matematica il teorema della divergenza. Tale teorema dice che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S\ è pari all'integrale di volume della divergenza del campo stesso calcolato sul volume T\ racchiuso da S\ .

La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso. La sua definizione è la seguente, dato un campo vettoriale \vec A\ e un operatore vettoriale, definito con \vec \nabla\ :

\vec \nabla=\left(\frac {\partial}{\partial x}\vec i+ \frac {\partial}{\partial y}\vec j+\frac {\partial}{\partial z}\vec k \right)\

Il prodotto scalare di \vec \nabla\ con tale generico campo vettoriale viene chiamata divergenza:

div \vec A=\vec \nabla \cdot \vec A=\frac {\partial A_x}{\partial x}+ \frac {\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z} \

Tenuto conto di questa affermazione il teorema di Gauss esteso ad una generica superficie S\ che racchiude il volume T\ si può riscrivere:

\int_S \vec{E} \cdot \vec{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec E dT=\frac 1{\varepsilon_o} \int_T\rho dT Dall'eguaglianza nell'ultima espressione dei due integrali qualunque sia il volume di integrazione T\ segue che gli integrandi coincidono, quindi:

\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\

Questa espressione detta equazione in forma locale è formalmente equivalente alla legge di Gauss, da cui è stata ricavata con l'ipotesi implicita che nel dominio considerato (il volume T) il campo elettrico sia derivabile in ogni punto. La limitazione quindi della forma locale è proprio nei casi in cui si ha discontinuità del campo elettrico. Ad esempio nella separazione tra due mezzi, caso non del vuoto, il campo elettrico ha in genere una discontinuità. Tale limitazione non comporta nessun problema se uno divide il dominio in sottodomini in cui tale discontinuità è rimossa. Il problema riguarderà di imporre le condizioni di raccordo tra i vari domini. Il teorema di Gauss in forma locale collega la divergenza del campo elettrico alla densità volumetrica di carica. Tale forma mal si adatta a considerare casi in cui la carica sia distribuita su superfici o lungo linee.

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