Fisica classica/Proprietà generali delle onde

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Indice

[modifica] Introduzione

Dall'inizio della civiltà è noto che nei mezzi continui si possono propagare disturbi che variano sia nello spazio che nel tempo: dette onde. Un esempio di onde da sempre note sono le onde del mare. Uno dei primi tentativi scientifici di spiegare il fenomeno è dovuto a Leonardo da Vinci che cercò di studiare le onde, prodotte dal vento, sulle spighe di un campo di grano.

Per avere un'onda è in genere necessario un mezzo continuo ed una forza di richiamo elastico, diffusa, che una volta provocata una deformazione tende a riportare il sistema nella configurazione di equilibrio, ma contemporaneamente la distribuisce nel mezzo vicino.

Una caratteristica delle onde è inoltre che, senza trasporto di materia, le onde trasportano energia e in genere anche quantità di moto: la forza distruttiva delle onde del mare sulle barriere è dovuta al trasporto di quantità di moto o se si vuole di pressione.

[modifica] Equazione delle onde

L'equazione differenziale che descrive le onde ha un carattere universale viene detta equazione delle onde ed è una Equazione differenziale alle derivate parziali e nel caso unidimensionale la sua espressione è:

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \

Dove u\ è la grandezza che rappresenta l'allontanamento dalla posizione di equilibrio. Nel caso delle onde del mare la grandezza che si allontana dalla posizione di equilibrio è la superficie fluido, nel caso delle onde del grano l'allontanamento dalla posizione verticale della spiga, nel caso del suono nei fluidi è la pressione locale. v\ è la velocità dell'onda ed il parametro che dipende dal mezzo in cui viene trasmesso, in genere la velocità delle onde dipende fortemente dalla forza di richiamo elastica e dalla densità del mezzo. Come regola generale si ha che più elevata è la forza di richiamo elastico più alta è la velocità delle onde, mentre minore è la densità del mezzo più elevata è la velocità.

La soluzione generale dell'equazione delle onde nel caso di deformazione unidimensionale è stata derivata da d'Alembert come:

u(x,t) = f(x-vt) + g(x+vt)\

dove f\ e g\ sono funzioni arbitrarie, corrispondenti, rispettivamente, alla onda che si muove in avanti (progressiva) e a quella che si muove all'indietro (regressiva).

In tre dimensioni l'equazione delle onde diviene:

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. \


E la sua soluzione generale vale:

u(\vec r,t) = f(\vec r-vt) + g(\vec r+vt)\

[modifica] Onde armoniche

Wave.png

Una onda si può sempre scomporre come combinazione di funzioni sinusoidali: la cosidetta scomposizione armonica.

Per chiarire meglio il concetto consideriamo una soluzione unidimensionale di un'onda progressiva sinusoidale (rappresentata graficamente a fianco):

f(x,t) = A \sin [ k (x-vt)+ \phi]\

Si definisce lunghezza d'onda \lambda\ la distanza minima tra due creste (o la distanza minima tra due punti dello spazio in cui l'onda ritorna eguale a se stessa), algebricamente:

k(x+\lambda )=kx+2\pi\
k=\frac {2\pi }{\lambda }\

La grandezza k\ viene chiamato numero d'onda. L'espressione di f\ in funzione del tempo è simile a quella nello spazio, viene definito periodo T\ il tempo minimo necessario all'onda per ritornare eguale a se stessa:

-kv(t+T)=-kvt-2\pi\
T=\frac {2\pi}{kv}=\frac {\lambda }v

Nei fenomeni periodici nel tempo si preferisce parlare dell'inverso del periodo la frequenza:

\nu\ =\frac 1T\

Quindi la relazione tra la periodicità spaziale e temporale di tutte le onde diviene:

\lambda \nu= v\

La rappresentazione armonica sinusoidale definendo la pulsazione \omega\ :

\omega =2 \pi \nu\
f(x,t) = A \sin ( k x-kvt+ \phi)=A \sin ( k x-\frac {2\pi}{\lambda} vt+ \phi)= A\sin (kx-\omega t+ \phi)\

Nel caso tridimensionale \vec k diviene il vettore d'onda con eguale modulo, ma diretto nella direzione di propagazione dell'onda. In tal caso la rappresentazione diviene:

f(\vec r,t) = \vec A \sin [ \vec k \cdot \vec r-\omega t+ \phi]\

[modifica] Fronte d'onda

Il luogo dei punti in cui l'onda ha stessa ampiezza e fase viene chiamato fronte d'onda, nel caso di una onda nello spazio tridemensionale il fronte d'onda è un elemento di una famiglia di superfici. Nel caso bidimensionale il fronte d'onda è un elemento di una famiglie di curve.


I fronti d'onda di onde piane sono dei piani paralleli

Le onde nei liquidi chiariscono il concetto. Immaginiamo di fare cadere in uno stagno un sasso, l'onde che si formano sono una serie di cerchi concentrici con il punto di caduta: in questo caso il fronte d'onda è una circonferenza. Se invece l'onda viene provocata da un debole vento che increspa la superfice si avrà un'onda piana, cioè il fronte d'onda è costituto da una linea retta.

L'estensione al caso tridimensionale è facile, infatti se abbiamo in un mezzo tridimensionale ed una sorgente puntiforme che emette in maniera isotropa, le onde avranno un fronte d'onda sferico, mentre una sorgente estesa isotropa genererà un fronte d'onda piano, come mostrato nella figura a fianco: le onde che hanno tale caratteristica sono dette onde piane. Le onde piane sono le più facili da studiare in quanto dipendono da una sola coordnata cartesiana: la direzione perpendicolare ai piani paralleli. Quando all'inizio abbiamo scritto l'equazione delle onde nel caso unidimensionale in realtà stavamo parlando della equazione caratteristica delle onde piane.

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