Fisica classica/Rotazione

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La descrizione del moto rotatorio è per certi versi analoga a quella del moto traslatorio, grazie all'introduzione di opportune grandezze fisiche.

Indice

[modifica] Angolo, velocità angolare, accelerazione angolare

Considerando un punto in moto circolare, possiamo definire la sua posizione per mezzo del raggio della circonferenza su cui si muove e dell'angolo tra il punto e l'asse x. Stiamo definendo la posizione in coordinate polari:

\vec s(r,\theta)=r\cos{\theta}\vec i+r\sin{\theta}\vec j

Ora possiamo considerare l'andamento nel tempo di θ, derivandolo rispetto al tempo (velocità angolare):

\vec \omega (t)=\frac{d\theta(t)}{dt}

Si ponga l'attenzione sul fatto che θ è uno scalare, ma si considera la sua derivata un vettore! Questo viene fatto per convenzione, considerando angoli piccoli e ponendo tale derivata vettoriale o scalare a seconda del contesto.

Qual è la relazione tra velocità angolare e velocità lineare? Vediamo come si comportano i moduli dei due vettori:

\Delta{s}=r\Delta{\theta} \implies \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=r\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}} \implies \frac{ds}{dt}=r\frac{d\theta}{dt} \implies v(t)=r\omega(t)

Queste formule sono valide solo se l'angolo di rotazione è espresso in radianti

Bene, manca solo la definizione di accelerazione angolare, del tutto analoga all'accelerazione lineare:

\vec \alpha (t)=\frac{d\vec \omega(t)}{dt}=\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}

Immediata è la relazione tra le due accelerazioni:

v(t)=r\omega(t) \implies \frac{dv(t)}{dt}=r\frac{d\omega(t)}{dt} \implies a(t)=r\alpha(t)

[modifica] Momento angolare

Il momento angolare (o momento della quantità di moto) è l'analogo della quantità di moto, e come esso si conserva. Il momento angolare si definisce per mezzo di un prodotto vettoriale:

\vec L=\vec r \times \vec p

[modifica] Momento della forza

Il momento della forza è l'analogo della forza, appunto, e si definisce così:

\vec\tau=\vec r \times \vec F

Qual è la relazione tra i due momenti appena definiti? Eccola:

\vec \frac{dL}{dt}=\frac{d(\vec r \times \vec p)}{dt}=\frac{d\vec r}{dt} \times \vec p+\vec r \times \frac{d\vec p}{dt}=\vec v \times m\vec v+\vec r \times \vec F=\vec r \times \vec F=\vec\tau

[modifica] Momento d'inerzia

E la massa? Anche questa ha un analogo, che indica grossomodo 'il grado di resistenza opposta dal corpo ai cambiamenti del moto rotatorio'. Definiamo il momento di inerzia:

I=\int_{V}^{}r^{2}dm

L'uso del momento d'inerzia è il seguente:

\vec L=I\vec\omega
\vec\tau=I\vec\alpha

E anche da queste due equazioni si dimostra (molto più agevolmente) la relazione tra il momento angolare e il momento della forza: \frac{d\vec L}{dt}=I\frac{d\vec\omega}{dt}=I\vec\alpha=\vec\tau

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