Fisica matematica/Notazione di Einstein

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In questa pagina riassumo alcuni richiami sulla notazione di Einstein che viene utilizzata abbondantemente durante tutto il libro.

Sia \vec{v} un vettore di uno spazio vettoriale V di dimensione n.

Usando l'isomorfismo tra V e \mathbb{R}^n possiamo scrivere il vettore in componenti:

\vec{v} = x^1 \vec{e_1} + x^2 \vec{e_2} + ... + x^n \vec{e_n} = \sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i} con \left\{ \vec{e_j} \right\} base di \mathbb{R}^n.

Evidentemente Einstein (che era uno che i vettori li usava tanto) si stufò di mettere la somma e inventò la seguente regola:

ogni volta che in un termine ci sono due indici ripetuti (uno in alto e l'altro in basso) si sottointende la somma su quell'indice.

Il nostro vettore allora diventa: \vec{v} = x^i\vec{e_i}.

Regola fondamentale: è vietato in un termine utilizzare tre indici uguali.

Gli indici ripetuti si dicono indici muti e possono essere cambiati a piacimento: x^i\vec{e_i} = x^j\vec{e_j}, gli indici che non sono ripetuti si dicono indici liberi e possono essere cambiati a patto che la formula resti coerente (nel testo ci saranno abbondanti esempi).

Si noti fin da subito la posizione degli indici delle componenti in alto e quella dei vettori in basso, sarà fondamentale la loro posizione e verrà discussa nel capitolo sui tensori.

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