Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Definizione.

Una quantità che richieda, per essere completamente caraterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicchè qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.

Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicchè può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicchè da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.

Somma e differenza di vettori.

Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.

La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.

L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:

$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$

$\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c$

$\vec a+\vec b=\vec c$

se, e solamente se, $\vec b=\vec c-\vec a$ , $\vec a+\vec o=\vec a$

| $\vec a+\vec b|<|\vec a|+|\vec b|$

Prodotti.

1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e $\vec a$ è un vettore, allora $h\vec a$ è definito come il vettore di modulo $|h||\vec a|$ la cui direzione è la medesima od opposta alla direzione di $\vec a$ secondo che h sia positivo o negativo.

Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi

$(hk)\vec a = h(k\vec a) = k(h\vec a)\qquad\qquad\qquad (h+k)\vec a = h\vec a + k\vec a$

$h(\vec a+\vec b)=h\vec a+h\vec b\qquad\qquad\qquad\qquad \vec a+(-\vec b)=\vec a-\vec b$

2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia $\ \theta$ l'angolo minore dei due angoli tra $\vec a = \vec {OA}$ e $\vec b=\vec{OB}$ , in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e $0\le \theta\le \pi$ . Il prodotto scalare di $\vec a$ e $\vec b$ rappresentato da $\vec a\cdot\vec b$ , è definito come lo scalare $|\vec a||\vec b|\cos\theta$ . La quantità $|\vec a|\cos\theta(|\vec b|\cos\theta)$ è la componente di $\vec a$ su $\vec b$ ( $\vec b$ su $\vec a$ ) ed ed è rappresentata da $comp_b\vec a$ ( $comp_a\vec b$ ). $Comp_a\vec b$ misura la lunghezza della proiezione di $\vec b$ sulla direzione di $\vec a$ .

Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi

$\vec a\cdot (\vec b+\vec c )=\vec a\cdot \vec b+\vec a\cdot \vec c$

$\vec a\cdot (h\vec b)=h(\vec a\cdot \vec b)=(h\vec a)\cdot \vec b$

$\vec a\cdot \vec a=|\vec a|^2$

Il prodotto scalare $\vec a\cdot \vec b=0$ se $|\vec a|=0$ o $|\vec b=0$ o $\ \theta={\pi\over 2}$ . Poichè il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore $\vec a\cdot\vec b=0$ se, e solamente se, $\vec a$ è perpendicolare a $\vec b$ .

Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicchè una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni $\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1$ e $\ i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0$ .

Per qualsiasi vettore $\vec a$ si scriva $\ a_x=\vec a\cdot i$ , $\ a_y=\vec a\cdot j$ , $\ a_z=\vec a\cdot k.-$ $\ a_x,a_y,a_z$ sono le componenti cartesiane di $\vec a$ sugli assi coordinati. Pertanto $\vec a=a_x\cdot i+a_y\cdot j+a_z\cdot k$ . I vettori $\vec a$ e $\vec b$ soddisfano le relazioni

$\vec a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z$

$\vec a\pm \vec b=(a_x\pm b_x)i+(a_y\pm b_y)j+(a_z\pm b_z)k$

$\vec a=\vec b$ $\ se,\ e\ soltanto\ se$ , $\ a_x=b_x, a_y=b_y, a_z=b_z$

$\vec a=\vec 0$ $\ se,\ e\ soltanto\ se$ , $\ a_x=a_y=a_z=0$

$\vec a\cdot \vec a=|\vec a|^2={a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2$

3. Il prodotto vettoriale di due vettori $\vec a$ e $\vec b$ , presi in tale ordine, è un terzo vettore $\vec c$ , indicato da $\vec a\times \vec b$ , e definito nel modo che segue: $\vec a$ e $\vec b$ siano rappresentati rispettivamente da $\vec {OA}$ e $\vec {OB}$ e $\ \theta$ sia l'angolo minore dei due angoli da $\vec {OA}<math> a <math>\vec {OB}$ cosicchè $\ 0\le \theta\le \pi$ . Allora $\vec c=\vec a\times \vec b$ è il vettore di grandezza $|\vec c|=|\vec a||\vec B|sin\theta$ che è perpendicolare al piano di $\vec {OA}$ e $\vec {OB}$ orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo $\ \theta$ da $\vec {OA}$ verso $\vec {OB}$ .

Il prtodotto vettoriale ubbidisce alle leggi

$\vec a\times \vec b=-(\vec b\times \vec a\qquad\qquad\qquad\vec a\times (\vec a+\vec c)=\vec a\times b+\vec a\times \vec c$

$\vec a\times (h\vec b)=(h\vec a)\times \vec b=h(h(\vec a\times \vec b)\qquad\qquad\vec a\times \vec a=\vec 0$

$\vec a\times \vec b=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}a_z&a_x\\b_z&b_x\end{vmatrix} j+\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}k=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$

I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni

$\ i\times j=k\qquad \ j\times k=i\qquad k\times i=j$

$\ i\times i=j\times j=k\times k=\vec 0$

4. $\vec a\times \vec b\cdot c$ definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine $\vec a, \vec b, \vec c$ . Le parentesi non sono necessarie attorno a $\vec a\times \vec b$ in $\vec a\times b\cdot c$ perchè $\vec a\times (\vec b\cdot c)$ è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove $\vec b\cdot c$ è uno scalare.

Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole

$\vec a\times \vec b\cdot \vec c=0$

se e soltanto se $\vec a,\vec b,\vec c$ possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.

$\vec a\times \vec b\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec b\times \vec c=\vec b\times \vec c\cdot \vec a=\vec b\cdot \vec c\times \vec a=\vec c\times \vec a\cdot \vec b=\vec c\cdot \vec a\times \vec b$

$\vec a\times \vec b\cdot \vec c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$

Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di $\vec a,\vec b,\vec c$ dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo, $\vec a,\vec c,\vec b$ allora $\vec a\times \vec b\cdot \vec c=-(\vec a\times \vec c\cdot \vec b)$ .

5. I prodotti vettoriali tripli di $\vec a,\vec b,\vec c$ , in tale ordine, sono $(\vec a\times \vec b)\times \vec c$ e $\vec a\times (\vec b\times \vec c)$ .

Questi prodotti soddisfano le identità

$\vec a\times (\vec b\times \vec c)=(\vec a\cdot \vec c)\vec b-(\vec a\cdot \vec b)\vec c$

$(\vec a\times \vec b)\times \vec c=(\vec c\cdot \vec a)\vec b-(\vec c\cdot \vec b)\vec a$

Derivata di un vettore

Se $\vec u(t)$ è un vettore definito per ogni t di un intervallo $t_1\le t\le t_2$ , allora $\vec u$ è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di $\vec u(t)$ rispetto al tempo è definita come

$\lim_{|\Delta t|\to 0}{\vec u(t+\Delta t)-\vec u(t)\over \Delta t}=\lim_{|\Delta t|\to 0}{\Delta \vec u\over \Delta t}$

se il limite esiste.

La derivazione ubbidisce alle seguenti regole

${d(\vec u\pm \vec v )\over dt}={d\vec u\over dt}\pm {d\vec v\over dt}$

${d(\vec u\cdot \vec v)\over dt}=\vec u\cdot {d\vec v\over dt}+{d\vec u\over dt}\cdot \vec v$

${d(\vec u\times \vec v)\over dt}=\vec u\times {d\vec v\over dt}+{d\vec u\over dt}\times \vec v$

${\vec a\over dt}=0 \qquad se\ \vec a\ costante$

${df\vec u\over dt}=f{d\vec u\over dt}+\vec u{df\over dt}$

dove f è una funzione scalare di t.

Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore

Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato $\vec u=\vec u(x,y,z)$ [scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo $\ \Delta$ rappresentare l'operatore differenziale vettoriale ${i {\delta \over \delta x}}+{j {\delta \over \delta y}}+{k {\delta \over\delta z}}$ ; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di $\ \Delta$ come segue:

Il gradiente di una funzione scalare $\ f(x,y,x)$ in un campo scalare è definito con la relazione

$\ grad\ f={{\delta f \over \delta x}i}+{{\delta f\over \delta y}j}+{{\delta f \over \delta z}k}=\Delta f$

La divergenza di un vettore $\vec u=u_x i+u_y j+u_z k$ in un camap vettoriale è definita dalla relazione

${div}\ \vec u={\delta u_x\over \delta x}+{\delta u_y\over\delta y}+{\delta u_z\over\delta z}=\Delta\cdot\vec u$

Il rotore di un vettore $\vec u=u_x i+u_y j+u_z k$ in un campo vettoriale è definito dalla relazione

${rot}\ \vec u=({\delta u_z\over \delta y}-{\delta u_y\over\delta z})i+({\delta u_x\over\delta z}-{\delta u_z\over\delta x})j+({\delta u_y\over\delta x}-{\delta u_x\over\delta y})k=\begin{vmatrix}i&j&k\\{\delta\over \delta x}& {\delta \over\delta y}&{\delta \over\delta z}\\u_x&u_y&u_z\end{vmatrix}=\Delta\times\vec u$

Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Stampa/esporta

Ricerca

strumenti