Fisica per le superiori/Moto rettilineo

Il moto rettilineo considera lo spostamento dei corpi in una sola dimensione, ovvero lungo un asse orientato, fissata un'origine.

Legge oraria del moto

Per definire il moto unidimensionale di un corpo usiamo una legge oraria, ovvero una funzione che associa ad ogni tempo una posizione nello spazio (nel nostro caso, una posizione sulla retta orientata). La legge oraria $x(t)$ sarà così definita:

$x:[t_{iniziale};t_{finale}]\rightarrow \mathbb {R}$

Ovvero la funzione $x(t)$ associa ad ogni istante, nell'intervallo di tempo definito, un numero reale che indica la posizione del corpo rispetto al sistema di riferimento unidimensionale.

Spostamento scalare e spostamento vettoriale

Consideriamo ora un oggetto che, partendo dall'origine del sistema di riferimento, si muova di 10 metri in avanti, poi di 15 metri in senso decrescente e poi di altri 10 metri in avanti. Qual è lo spostamento effettuato? Se si considera lo spazio totale percorso dall'oggetto, diremo 35 metri = 10 metri + 15 metri + 10 m; se tuttavia consideriamo il punto di partenza e il punto di arrivo, lo spostamento effettivo è di 5 metri.

Questo perché parlando di spostamento possiamo intendere due tipi di spostamento. Il primo è lo spostamento scalare o distanza scalare: considerando ogni tratto percorso dall'oggetto come un valore scalare (ovvero un numero seguito da un'unità di misura) la distanza percorsa sarà la somma di questi spostamenti; se l'oggetto che si muove è un'automobile, questo valore sarà dato dal contachilometri, che esprime effettivamente quanti chilometri ha percorso la macchina.

Lo spostamento vettoriale (o distanza vettoriale) considera invece ogni tratto del moto come un vettore orientato nel senso crescente o decrescente rispetto al verso indicato come sistema di riferimento. Se ad esempio consideriamo come sistema di riferimento una retta orientata verso destra, un moto "all'indietro" di 15 metri corrisponderà ad un vettore orientato verso sinistra avente intensità 15; un moto "in avanti" di 10 metri avrà invece verso opposto al vettore considerato e intensità 10. Considerando il moto precedente, dunque lo spostamento totale sarà dato da un vettore risultato dalla somma dei tre vettori spostamento, e sarà in particolare un vettore orientato verso destra con intensità 5. Sempre pensando alla nostra automobile, la distanza scalare costituisce la distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo.

Lo spostamento vettoriale tra due istanti $t_{1}$ e $t_{2}$ è definibile usando la legge oraria come:

$\Delta x=x(t_{2})-x(t_{1})$

Velocità e accelerazione

Una volta definito il concetto di spostamento è possibile definire il concetto di velocità media, ovvero lo spostamento subito da un corpo nell'unità di tempo:

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

L'unità di misura della velocità sarà quindi: $m \over s$. Anche per la velocità ne definiamo una scalare e una vettoriale, a seconda che nel calcolo si consideri la distanza scalare o quella vettoriale. In particolare in quella vettoriale:

$v_{m}={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

La velocità istantanea è invece la velocità $v(t)$ riferita ad un istante del moto; per calcolarla è tuttavia necessario ricorrere alla velocità media, considerando un intervallo di tempo sempre più piccolo che tende a 0. Ad esempio, la velocità istantanea segnata dal tachimetro dell'automobile in realtà indica la velocità media in un intervallo di tempo molto piccolo.

Analogamente alla velocità si definisce il concetto di accelerazione, ovvero la variazione di velocità nel tempo. L'accelerazione media tra due instanti $t_{1}$ e $t_{2}$ è definita come:

$a_{m}={\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

ovvero la differenza tra le velocità negli istanti $t_{1}$ e $t_{2}$ nell'unità di tempo.

Grafici del moto

Il moto rettilineo è esprimibile per via grafica con tre tipi di grafici:

• il grafico spazio-tempo ($x(t)$ o $s(t)$), dove le ascisse indicano il tempo e le ordinate la posizione rispetto all'origine; è la rappresentazione grafica della legge oraria;
• il grafico velocità-tempo ($v(t)$, a parole v su t), nel quale sulle ordinate è indicata la velocità istantanea al tempo t, rappresentato sulle ascisse;
• il grafico accelerazione-tempo ($a(t)$, a parole a su t), nel quale sulle ordinate è indicata l'accelerazione istantanea al tempo t, rappresentato sulle ascisse;

Analizzeremo ora alcuni tipi di moto con caratteristiche particolari.

Moto rettilineo uniforme

Per moto rettilineo uniforme si intende un moto unidimensionale con velocità costante. Per ricavare la legge oraria del moto partiamo dalla formula per il calcolo della velocità:

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

$\Delta x=v_{m}\cdot \Delta t$

Considerando la partenza al tempo $t=0$si ha:

$x(t)-x(0)=v_{m}(t-0)\,$

$v_{m}$ è costante e può essere indicata semplicemente come "v":

$x(t)=x_{0}+v\,t$

dove $x_{0}$ è la posizione di partenza, ovvero la posizione al tempo 0.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Per moto rettilineo uniformemente accelerato si intende un moto unidimensionale con accelerazione costante. La derivazione della legge oraria del moto è più complessa. Consideriamo la partenza al tempo t=0, allora:

$a={\frac {v-v_{0}}{t}}$

da cui:

$v=at+v_{0}$

Ma la velocità media è data da:

$v_{m}={\frac {v+v_{0}}{2}}={\frac {at+2v_{0}}{2}}={\frac {at}{2}}+v_{0}$

Poiché lo spazio percorso è dato dalla velocità media per il tempo, si ottiene la legge oraria:

$s={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t$