Geometria/Matrici

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Operazioni tra Matrici

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Copertina Geometria/Copertina
  1. Spazi vettoriali Geometria/Spazi vettoriali
  2. Geometria affine Geometria/Geometria affine
  3. Geometria euclidea Geometria/Geometria euclidea
  4. Geometria proiettiva Geometria/Geometria proiettiva

Indice

[modifica] Matrice di un Sistema lineare

Dato il sistema lineare \mathcal{L}

\begin{cases} &a_{1,1} x_1 + \dots + a_{1,n}x_n = b_1 \\ &a_{2,1} x_1 + \dots + a_{2,n}x_n = b_2 \\ &\qquad \vdots \\ &a_{m,1} x_1 + \dots + a_{m,n}x_n = b_n \end{cases}

definiamo la matrice del sistema lineare la tabella

M(\mathcal{L}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\dots & a_{1,n} & b_1 \\ a_{2,1} &a_{2,2} &\dots & a_{2,n} & b_2 \\ \vdots &\vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} &a_{m,2} &\dots & a_{m,n} & b_n \end{pmatrix}


Alla base della definizione vi sono due idee: la prima, che abbiamo già accennato nella precedente sezione, è che per risolvere il sistema lineare \mathcal{L} non servono le incognite ma sono sufficienti i coefficienti e i termini noti. La seconda è che conviene dare a questi numeri reali la forma di una tabella rettangolare, suggerita dalla forma del sistema lineare.

Questa rappresentazione è la chiave di volta nella teoria dei sistemi lineari. Analizzeremo ora la generalizzazione di questo concetto.

[modifica] Matrici

Definizione

Dati m,n \in \mathbb{N}, m,n\geq 1, una matrice m\times n a coefficienti in \mathbb{R} è una tabella A del seguente tipo:

A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n} \end{pmatrix}

con a_{i,j} \in \mathbb{R} per 1\leq i \leq m e 1 \leq j \leq n.

[modifica] Righe e Colonne

Data una matrice m\times n A possiamo definire:

  • righe di A: sono le seguenti matrici 1 \times n

\begin{matrix} &A_1 := (a_{1,1}\ a_{1,2}\ \dots\ a_{1,n} ) \\ &A_2 := (a_{2,1}\ a_{2,2}\ \dots\ a_{2,n} ) \\ &\vdots \\ &A_m := (a_{m,1}\ a_{m,2}\ \dots\ a_{m,n} ) \end{matrix}

  • colonne di A: sono le seguenti matrici m \times 1

A^1:=\begin{pmatrix} a_{1,1} \\ a_{2,1} \\ \vdots \\ a_{m,1} \end{pmatrix} \quad A^2:=\begin{pmatrix} a_{1,2} \\ a_{2,2} \\ \vdots \\ a_{m,2} \end{pmatrix} \quad \dots \quad A^n:=\begin{pmatrix} a_{1,n} \\ a_{2,n} \\ \vdots \\ a_{m,n} \end{pmatrix}

[modifica] Rappresentazione e componenti

Possiamo rappresentare la matrice A mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere

A=: \begin{pmatrix} A^1 &A^2 &\dots &A^n \end{pmatrix} =: \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix}

Per indicare A useremo anche la notazione

A=: (a_{i,j})_\stackrel{1\leq i\leq m}{1\leq j \leq n} =: (a_{i,j})

Infine per indicare la componente i,j-esima di A useremo la notazione (A)i,j = :ai,j. Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.


[modifica] Esempio

Sia

A=: \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 4 & \sqrt{3} \end{pmatrix}

Allora A è una matrice 3 \times 2 e le sue righe e colonne sono

A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -3 \end{pmatrix} \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 4 & \sqrt{3} \end{pmatrix}

A^1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad A^2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}

Le componenti di A sono:

(A)_{1,1}=2 \quad (A)_{1,2}=-3 \quad (A)_{2,1}=1 \quad (A)_{2,2}=0 \quad (A)_{3,1}=4 \quad (A)_{3,2}=\sqrt{3}

Quindi A può essere scritta come:

A= \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^1 & A_2 \end{pmatrix}

[modifica] Insiemi di Matrici

Definizione

Dati m,n \in \mathbb{N} con m,n \geq 1 indicheremo con M(m,n,\mathbb{R}) l'insieme di tutte le matrici m\times n a coefficienti in \mathbb{R}, e con M(n,\mathbb{R}) tutte le matrici n \times n a coefficienti in \mathbb{R}, ovvero:

M(m,n,\mathbb{R}) := \{ A : A \text{ e‘ una matrice } m \times n \text{ a coefficienti in } \mathbb{R} \}

M(n,\mathbb{R}) := M(n,n,\mathbb{R})

Chiameremo le matrici di M(n,\mathbb{R}) matrici quadrate.


Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se \mathcal{L} è un sistema lineare con m equazioni e n incognite, allora M(\mathcal{L}) \in M(m,n+1,\mathbb{R}).

Praticamente si consideri il seguenti sistema:

\mathcal{L}=\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ 3 x_2 = 7 \end{cases}

allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che

M(\mathcal{L}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix} \in M(2,3,\mathbb{R})


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